Человеческое познание его сферы и границы

В результате вышеприведенного предварительного обсуждения я думаю, что каждое из обоих различных понятий имеет на основе обычного употребления равное право называться «вероятностью». Первое из них является математической вероятностью, которая поддается числовому измерению и удовлетворяет требованиям аксиом исчисления вероятности; это — тот вид вероятности, который предполагается при использовании статистики, будь то в физике, в биологии или в общественных науках, и также тот ее вид, который, как мы думаем, предполагается в индукции. Этот вид вероятности всегда имеет дело с классами, а не с отдельными случаями, за исключение того обстоятельства, когда они могут рассматриваться только как примеры.

Но существует и другой вид, который я называю «степенью правдоподобия». Этот вид применим к отдельным предложениям и всегда связан с учетом всех относящихся к делу свидетельств. Он применим даже в некоторых таких случаях, в которых нет никакого известного свидетельства. Высшая степень правдоподобия, которой только мы можем достигнуть, применима к большинству суждений восприятия; различные степени применимы к суждениям памяти в соответствии с их живостью и свежестью. В некоторых случаях степень правдоподобия может быть выведена из математической вероятности, в других же случаях это не может быть сделано; но даже в тех случаях, когда она может быть выведена, важно помнить, что это другое понятие. Именно этот вид, а не математическая вероятность подразумевается, когда говорят, что все наше познание только вероятно и что вероятность есть руководитель жизни.

Оба вида вероятности требуют обсуждения. Я начну с математической вероятности.

ГЛАВА 2 ИСЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

В этой главе я собираюсь трактовать теорию вероятности как ветвь чистой математики, в которой мы выводим следствия определенных аксиом, не стараясь приписать им ту или иную интерпретацию. Относительно «интерпретации» смотри главу 1 четвертой части этой книги. Следует заметить, что, в то время как интерпретация в этой области является спорной, само математическое исчисление диктует здесь ту же меру согласия, как и во всякой другой области математики. Это положение вещей никоим образом не является чем-то особенным. Интерпретация исчисления бесконечно малых почти в течение двух столетий была предметом, по поводу которого спорили математики и философы; Лейбниц считал, что она предполагает актуально бесконечно малые, и только Вейерштрасс окончательно опроверг этот взгляд. Возьмем еще более существенный пример: никогда не было никаких споров по поводу элементарной арифметики, и все-таки определение натуральных чисел все еще остается предметом спора. Мы не должны поэтому удивляться, что существует сомнение в отношении определения «вероятности», в то время как его нет (или очень мало) в отношении исчисления вероятности.

Следуя Джонсону и Кейнсу, мы будем обозначать выражением p/h неопределенное понятие «вероятность p при данном h». Когда я говорю, что это понятие является неопределенным, я имею в виду, что оно определяется только с помощью аксиом или постулатов, которые должны быть перечислены. Все, что удовлетворяет требованиям этих аксиом, является «интерпретацией» исчисления вероятности, и следует думать, что здесь возможно множество интерпретаций. Ни одна из них не является более правильной или более законной, чем другая, но некоторые могут быть более важными, чем другие. Так, среди интерпретаций пяти аксиом Пеано для арифметики та интерпретация, в которой первое число — 0, является более важной, чем та, в которой первое число — 3781; она более важна потому, что позволяет нам отождествить интерпретацию формалистической концепции с концепцией, признаваемой в перечислении. Но сейчас мы отвлечемся от всех вопросов интерпретации и займемся чисто формальной трактовкой вероятности.

Необходимые аксиомы, или постулаты, даются почти одинаково различными авторами. Следующие формулировки взяты у профессора Ч. Д. Брода. Эти аксиомы таковы:

1. Если даны p и h, то существует только одно значение p/h. Мы поэтому можем говорить о «данной вероятности p при данном h».

2. Возможные значения выражения p/h суть все действительные числа от 0 до 1, включая и то и другое. (В некоторых интерпретациях мы ограничиваем возможные значения рациональными числами; этот вопрос я буду рассматривать ниже.)

3. Если h имеет значение p, то p/h=1 (мы употребляем «1» для обозначения достоверности).

4. Если h имеет значение не-p, то p/h=0 (мы употребляем «О» для обозначения невозможности).

5. Вероятность p и q при данном h есть вероятность p при данном h, помноженная на вероятность q при данных p и h, и является также вероятностью q при данном h, помноженной на вероятность p при данных q и h.

Эта аксиома называется «конъюнктивной».

6. Вероятность p и q при данном h есть вероятность p при данном h плюс вероятность q при данном h минус вероятность p и q при данном h.

Это называется «дизъюнктивной» аксиомой.