Человеческое познание его сферы и границы

Заметьте, что это не зависит от n и что если m велико, то оно очень близко к 1.

В вышеприведенное описание я не включил никакого аргумента по вопросу об индукции, которой я займусь позже. Прежде всего я рассмотрю адекватность определенной интерпретации вероятности, поскольку она может рассматриваться независимо от проблем, связанных с индукцией.

ГЛАВА 3 ИНТЕРПРЕТАЦИЯ С ПОМОЩЬЮ ПОНЯТИЯ КОНЕЧНОЙ ЧАСТОТЫ

В этой главе нас интересует одна очень простая интерпретация «вероятности». Мы должны прежде всего показать, что она удовлетворяет аксиомам главы SI, и затем рассмотреть в порядке предварительного разбора, насколько ее можно сделать соответствующей обычному употреблению слова «вероятность». Я буду называть эту интерпретацию «теорией конечной частоты», чтобы отличить ее от другой формы теории частоты, которой мы займемся ниже.

Теория конечной частоты исходит из следующего определения.

Пусть В будет любой конечный класс, а A — любой другой класс. Мы хотим определить шанс, что член класса В, выбранный наудачу, будет членом класса А, например, что первый человек, которого вы встретите на улице, будет иметь фамилию Смит. Мы определяем эту вероятность как число членов класса В, являющихся также членами класса А, деленное на полное число членов класса В. Мы обозначаем это знаком А/В.

Ясно, что вероятность, определяемая таким образом, должна быть или рациональной дробью, или 0, или 1.

Несколько примеров сделают ясным смысл этого определения. Каков шанс, что какое-либо целое число меньше 10, выбранное наудачу, будет простым числом? Существует 9 целых чисел меньше 10, и 5 из них являются простыми; следовательно, этот шанс равен 5/9. Каков шанс, что в прошлом году в Кембридже в день моего рождения шел дождь, в предположении, что вы не знаете, когда бывает день моего рождения? Если m есть число дней, когда шел дождь, то шанс равен m/365. Каков шанс, что человек, фамилия которого содержится в лондонской телефонной книге, носит фамилию Смит? Для решения этой задачи вы должны сначала сосчитать все записи в этой книге с фамилией «Смит», а затем сосчитать вообще все записи и разделить первое число на второе. Каков шанс, что карта, вытащенная наудачу из колоды, окажется пиковой масти? Ясно, что этот шанс равен 13/52, то есть 1/4. Если вы вытянули карту пиковой масти, то каков шанс, что следующая карта, которую вы вытащите, будет тоже пика? Ответ: 12/51. Каков шанс, что в бросании двух костей выпадет сумма 8? Имеется 36 комбинаций выпадения костей, и в 5 из них сумма будет равна 8, так что шанс выпадения суммы 8 равен 5/36.

Ясно, что в иных элементарных случаях вышеприведенное определение дает результаты, согласующиеся с обычным употреблением. Теперь исследуем, удовлетворяет ли таким образом определяемая вероятность аксиомам.

Буквы p, q и h, употребленные в аксиомах, должны теперь пониматься как обозначающие не предложения, а классы или пропозициональные функции. Вместо выражения «h предполагает p» мы будем иметь выражение «h содержится в p», выражение «p и q " будет обозначать общую часть двух классов p и q, тогда как «p и q» будет классом всех членов, которые принадлежат к каждому или к обоим из двух классов p и q.

Наши аксиомы были следующие:

1. Есть только одно значение p/h. Оно будет истинным, если только h не является нулем, в каковом случае p/h = 0/0. Мы поэтому исходим из того, что h не есть нуль.

2. Возможными значениями p/h являются все реальные числа от 0 до 1. В нашей интерпретации они будут только рациональными числами, если только мы не сможем найти способ распространения нашего определения на бесконечные классы. Этого нельзя сделать просто, поскольку деление не дает единого результата, когда дело касается бесконечных чисел.

3. Если h содержится в p, тогда p/n=1. В этом случае общая часть h и p есть h, следовательно, вышеупомянутое следует из нашего определения.

4. Если h содержится в не-p, тогда p/h = 0. Это ясно по определению, ибо в этом случае общая часть h и p равна нулю.

5. Конъюнктивная аксиома. Согласно нашей интерпретации, она утверждает, что отношение членов h, являющихся членами как p, так и q, есть отношение членов h, являющихся членами p, помноженное на отношение членов p и b, являющихся членами q. Допустим, что число членов h есть а, что число членов, общих для p и h, есть b и что число членов, общих для p, q и h, есть с. Тогда отношение членов h, являющихся членами p и q, есть с/a, отношение членов h, являющихся членами p, есть h/a и отношение членов p и h, являющихся членами q, есть с/b. Таким образом, наша аксиома подтверждается, поскольку с/а = b/a x с/b.

6. Дизъюнктивная аксиома. Согласно нашей настоящей интерпретации, эта аксиома говорит, сохраняя вышеприведенные значения а, b и с и добавляя, что d есть число членов h, являющихся членами или p, или q, или обоих из них, тогда как е есть число членов h, являющихся членами q, что

То есть d = b + e — c, что опять-таки совершенно очевидно.