Десять великих идей науки. Как устроен наш мир.

О гиперкубах в пространстве-времени на данный момент, вероятно, сказано достаточно. Вы подошли к началу понимания структуры пространства-времени, смысла точек и объемов в нем. Прежде чем мы вместе сделаем следующий шаг, мне надо ознакомить вас еще с одним аспектом частной теории относительности. Этот важный шаг выявит происхождение самого знаменитого выражения во всей физике, E = mc², или энергия = масса × c², и покажет нам, что это важное в интеллектуальном, экономическом, коммерческом, военном и политическом отношениях выражение, которое уже возникало перед нами в этой и предшествующих главах, является к тому же еще одним проявлением геометрии пространства-времени. В единицах, в которых время выражается длиной, c = 1, поскольку свет проходит один метр за 1 метр светового времени, и это выражение Эйнштейна принимает менее знакомую, но более простую и показательную форму энергия = масса. Иными словами, разницы между энергией и массой нет.

Я не могу избежать использования небольшой толики математики, но это будет необременительный разговор с передышками, и я надеюсь, что вы его преодолеете (или перепрыгнете: но этот результат важен). Мы знаем соотношение между интервалом, временем и расстоянием:

интервал² = время² − расстояние².

Легко преобразовать это выражение, разделив обе стороны на интервал² и получить:

1  = (время² / интервал²) − (расстояние² / интервал²).

Далее, умножим обе стороны на массу², где масса есть масса некоторой частицы, о которой мы в данный момент думаем (атом урана, лягушка, Юпитер). Этот шаг дает:

масса² = (масса × время / интервал)² − (масса × расстояние / интервал)².

Поскольку расстояние / интервал напоминает обычное выражение для скорости, а масса, умноженная на скорость, есть определение импульса (глава 3), мы можем подозревать, что второе слагаемое справа является релятивистским выражением для квадрата импульса. Я не буду вдаваться в подробности, но это подозрение подтверждается при рассмотрении столкновения двух частиц, в котором обнаруживается, что полная величина масса × расстояние / интервал при столкновении остается неизменной. Одним из центральных принципов физики, как мы видели в главе 3, является «сохранение импульса», принцип, говорящий о том, что, какие бы сложные события ни происходили при столкновении двух тел, полный импульс остается неизменным, так что для этого отождествления есть основания.

Но что означает первое слагаемое справа? Если мы напишем уравнения для столкновения двух частиц, то обнаружим, что величина масса × время / интервал тоже остается неизменной при столкновении, даже если происходит множество сложных индивидуальных событий. Другим великим принципом физики, как мы видели в главе 3, является сохранение энергии. Наблюдения заставляют предполагать, что мы должны отождествить масса × время / интервал с энергией и переписать последнее уравнение в виде:

масса² = энергия² − импульс².

Отождествление величины масса × время / интервал с энергией также подтверждается демонстрацией того, что, подобно импульсу, она сохраняется при столкновении. Одним следствием из этого выражения, подобно выражению для интервала, является то, что, так же как пространство и время мыслятся объединенными в пространство-время, импульс и энергия должны мыслиться как две стороны комбинированной величины, которую можно назвать, хотя это делают редко, неуклюжим именем импульс-энергия. Масса, согласно этому выражению, вычисляемая из энергии и момента, так же как интервал, вычисляемый из времени и расстояния, является инвариантом, свойством, которое находят одинаковым все наблюдатели, как бы быстро они ни двигались.

Теперь мы можем перейти к нашему итоговому заключению. Предположим, что частица неподвижна в нашей инерциальной системе — это может быть кусок железа, который мы держим в руке. Поскольку частица является неподвижной, ее импульс равен нулю; таким образом выражение масса² = энергия² − импульс² превращается в масса² = энергия², и мы немедленно заключаем, что масса = энергия, именно то, что мы хотели вывести. Вам следует обратить внимание, что это необычайно важное выражение является прямым следствием геометрии пространства-времени в сочетании с двумя физическими законами сохранения, позволяющими нам отождествить термины.