Десять великих идей науки. Как устроен наш мир.

Чудесная возможность пользоваться языком математики для формулирования законов физики является волшебным даром, который мы не понимаем и которого не заслуживаем.

Эйнштейн высказал близкую мысль, когда заметил, что наиболее трудной для постижения чертой мира является то, что он постижим.

Я намереваюсь посвятить эту главу скорее разговорам о математике, чем изложению самой математики, или даже — исключая те места, где я сочту это уместным, или неуместным, но занимательным — истории идей, на которых математика выросла. Иными словами, я буду говорить о том, что, по их мнению, делают математики, когда они придумывают свои теоремы или решают свои уравнения. Я не буду касаться деталей того, что они делают, поэтому вам не придется проходить доказательство теоремы Пифагора или правила решения квадратных уравнений. Как таковая, эта глава больше касается философии математики, в частности математической онтологии, оснований этого предмета, чем техники, которую каждый из нас изучал либо с восхищением, либо с чувством отвращения и страха. С другой стороны, я намерен использовать эту главу для проверки обоснованности часто цитируемого, но все же пристрастного изречения Бертрана Рассела:

Чистая математика — это предмет, в котором мы не знаем, о чем мы говорим, и верно ли то, что мы говорим.

Я принимаю во внимание тот факт, что большинство моих читателей будет испытывать дискомфорт и, возможно, подавленность от воспоминаний о математике, или, по крайней мере, будет обеспокоено предвосхищением того, что потребуется для понимания подобной главы. Успокойтесь: это не учебник. Я собираюсь сосредоточиться на обворожительных фрагментах и буду заранее указывать места, которые можно, по крайней мере при первом чтении, перепрыгнуть, не теряя нити повествования. Более того, вам следует иметь в виду, что эта глава не является математической; это рассказ о математике.

Мое последнее вводное замечание начертает еще одну перспективу для этой главы. Мы прошли через последовательность все возрастающих абстракций, наблюдая, как знакомые понятия растворяются в более могущественных понятиях, их сменивших. Математика является высшей точкой нашего путешествия, в которой абстракция является самой сутью: математика является чистой, голой, развоплотившейся абстракцией. А потому, нам следует ожидать необычайного могущества.

Фундаментальной трудностью математики является то, что она пытается оперировать натуральными числами, числами повседневного счета 0, 1, 2, 3, …, которые широко используются, но изначально не определены. Натуральные числа используются как количественные числа, для обозначения номера предмета в наборе, и как порядковые числа, для упорядочения предметов в список. Это числа соответствуют различным понятиям, и в языке мы даем им разные названия: один, два, … для количественных чисел, и первый, второй, … для порядковых чисел. Большая часть того, что я должен сказать, будет относиться к натуральным числам в качестве количественных чисел.

Как мы вскоре увидим, с тех пор, как математики начали, в своей характерной глубокомысленной манере, размышлять о натуральных числах, стало очевидно, что удивительным является даже то, что мы вообще можем считать. Ведь этих чисел так мало (всего лишь бесконечность), и они столь редки, что с некоторой точки зрения удивительно, как древним людям удалось наткнуться на них в первый раз. Мы уже можем начать понимать некоторые из проблем, беспокоящих математиков даже на этой ранней стадии обсуждения. Например, действительно ли количественные числа продолжаются до бесконечности, или более верным, чем вечно марширующие без всякого пункта назначения числа, представлением является так называемая ультрафинитистская математика, в которой натуральные числа выдыхаются до того, как достигнут бесконечности? И поскольку, если быть честными, мы не способны непосредственно воспринимать бесконечность, можно ли полагаться на математические доказательства, содержащие обращения к бесконечности? Многие склонны отвечать на последний вопрос отрицательно, и делают все, чтобы не подпустить бесконечность на расстояние ближе вытянутой руки.