Десять великих идей науки. Как устроен наш мир.

Математическое доказательство состоит из строки предложений, которые выводятся одно из другого с помощью использования правил обращения с символами. Это означает, что мы можем приписать отдельный номер целому доказательству, отметив гёделевские номера всех входящих в него предложений. Если доказательство состоит из трех предложений с гёделевскими номерами 6, 8 и 2 (на практике эти номера были бы огромны), то всему доказательству приписывается номер 2⁶ × 3⁸ × 5² = 10 497 600 (для более длинных доказательств ряд простых чисел 2, 3, 5 последовательно продолжают). Как вы можете вообразить, длинные доказательства, состоящие из сложных предложений, имеют астрономически большие гёделевские номера. И снова смыслом этой процедуры является то, что целые доказательства включаются в область арифметики. Мы можем использовать арифметические процедуры, чтобы, например, судить, используется ли одно доказательство в другом, определяя, входит ли гёделевский номер первого множителем в гёделевский номер второго, подобно тому, как 15 = 5 × 3 означает, что 5 и 3 являются компонентами 15.

Теперь мы воспользуемся этими гёделевскими номерами, чтобы вывести результат Гёделя с помощью вариации процедуры из метода Кантора и решения Тьюрингом проблемы вычислимости. На самом деле Гёдель использовал гораздо более глубокие методы, доказав пятьдесят промежуточных теорем — опорные базы, — прежде чем достичь завершения доказательства. Следующий далее текст лишь ухватывает суть дела: представьте себе это как полет вертолета над вершиной горы. Однако, поскольку доказательство все же является трудным, даже урезанное и упрощенное до той степени, до которой мне удалось его адаптировать, вы можете свободно перескочить к месту, где восстанавливается нормальный размер шрифта.

Предположим, что у нас есть некоторое предложение относительно числа 0, мы назовем это предложение p₀(0), и такое же предложение относительно числа 1, которое мы назовем p₀(1), и так далее. Обозначим вообще это предложение относительно числа x как p₀(x). Эти предложения могут быть истинными, а могут ложными. Например, предложение «квадратный корень из x равен 1» в случае p₀(0) ложно, поскольку утверждает, что √0 = 1, что неверно, но в случае p₀(1) оно истинно, так как √1 = 1. Каждое из этих предложений имеет гёделевский номер, который мы можем вычислить, и существует бесконечное число таких предложений относительно каждого из бесконечного числа натуральных чисел. Обозначим эти предложения как p₀(x), p₁(x) и так далее: некоторые из них являются мусором, некоторые верны. Организуем теперь все соответствующие им гёделевские номера в огромную таблицу (с астрономически большими номерами там, где мы подставили малые номера). Верхний левый фрагмент этой таблицы может быть чем-то вроде:

Вход		0	1	2	3
Предложение	0	0	55	27	4
	1	51	3	7	17
	2	0	20	30	40
	3	13	22	11	2