Диалоги о математике

За тысячелетия своего существования математика прошла большой и сложный путь, на протяжении которого неоднократно изменялся ее характер, содержание и стиль изложения. От первичных представлений об отрезке прямой как кратчайшем расстоянии между двумя точками, от предметных представлений о целых числах в пределах первого десятка математика пришла к образованию многих новых понятий, позволивших описывать сложнейшие явления природы и технические процессы. Из примитивного искусства счета с помощью камешков, палочек и зарубок математика сформировалась в обширную научную дисциплину с собственным предметом изучения и специфическим методом исследования. Она выработала собственный язык, очень экономный и точный, который оказался исключительно эффективным не только внутри математики, но и в многочисленных областях ее применений.

Первичные математические представления были в обиходе у людей на самых ранних стадиях развития человеческого общества. Смутные, неоформившиеся понятия «больше», «меньше», «равно», относящиеся к конкретным предметам, представления о кратчайшем расстоянии между двумя точками, выработанные в результате длительного каждодневного опыта, вооружали первобытного человека полезными сведениями. Вероятно, представления о неравенстве числа предметов, неравенстве расстояний и размеров появились у людей раньше, чем представления о числе предметов. Формирование идеи счета в пределах единиц относится к тому периоду истории человечества, от которого не сохранилось никаких письменных памятников. Это вполне естественно, так как речь, искусство счета, первичные навыки мышления относятся к временам гораздо более ранним, чем появление самой несовершенной письменности. Судить о развитии математических понятий на ранней стадии человеческого общества удается лишь на основе косвенных данных — наблюдений над некоторыми племенами в XVI–XIX вв., изучения особенностей живых и мертвых языков, являющихся не только средством общения, но и памятником духовной культуры прошлого.

Хозяйственные потребности вынуждали людей совершенствовать правила счета, измерения расстояний, а также расширять объем математических понятий. Однако в течение долгого времени накопленные сведения были и какой-то мере рецептурными и не осознавались как самостоятельная ветвь знаний. Интересно отметить, что на этой ступени развития математические сведения различных народов, даже не общавшихся между собой, поразительно близки по форме и по содержанию. Правила вычисления площадей и объемов Древнего Вавилона и Древнего Египта весьма похожи на аналогичные правила Древнего Китая. Свойство сторон прямоугольного треугольника, известное под названием теоремы Пифагора, было найдено для многих частных случаев треугольников с целочисленными сторонами задолго до Пифагора, еще в Древнем Вавилоне и в Древнем Китае. На этот вопрос дан вразумительный ответ в беседе Сократа с Гиппократом (первый диалог Реньи).

Так в течение тысячелетий многочисленными безвестными тружениками закладывался фундамент современной математики. Постепенно люди научились выполнять арифметические действия с целыми числами, а затем и с рациональными дробями, научились правильно вычислять площади довольно сложных фигур и объемы простейших тел, Уже в ту пору люди изобрели вспомогательные средства; для упрощения взаимных расчетов. Пусть эти изобретения очень примитивны, но их создание стало важным элементом человеческой культуры. И если теперь человечество знает гораздо больше и мечтает о решении проблем, которые совсем недавно казались фантастическими, то в этом велика заслуга предшествующих поколений, на опыте которых базируются все наши знания.

Примитивный математический аппарат счета и измерения, вызванный к жизни несложными потребностями охотника, скотовода, земледельца и воина тех далеких времен, оказался явно недостаточным, когда начала развиваться астрономия и далекие путешествия потребовали разработки методов ориентации в пространстве. Жизненная практика, в том числе и практика развивающихся естественных наук, стимулировала дальнейшее развитие математики. И действительно, в течение каких-нибудь двухсот лет в Древней Греции был сделан принципиально новый шаг — математика стала формироваться как дедуктивная наука. Из сборника рецептов, которыми следовало пользоваться в тех или иных житейских ситуациях, она превратилась в логически стройную систему научных знаний. В культурном развитии человечества произошел скачок, равный которому трудно найти на протяжении всей истории научных знаний. В первом диалоге Реньи математика находится на довольно высоком логическом уровне и истоки математических понятий уже не так ясны.