Диаспора

"Что же я разделил на поверхности?"

"Треугольники. Прямоугольные треугольники". Четыре в северном полушарии, 4 на южном.

"И все, что вы делаете с поверхностью — изгибаете, протягиваете, скручиваете ее в тысяче других измерениях — всегда ли вы будете способны разделить ее одним тем же способом, или нет? Восемью треугольниками, заключенными между шестью точками?"

Ятима экспериментировал, последовательно деформируя сферы в различные формы. "Я думаю, вы правы. Но как это поможет?"

Радия промолчал. Ятима сделал объект прозрачным, так что бы он мог видеть все треугольники сразу. Они сформировали вид грубой сетки, шестиконечной сети, закрытой авоськи из веревок. Он выпрямил все двенадцать линий, в которые несомненно выравнивались треугольники — но это превратило сферу в алмаз в форме октаэдра, что было также плохо как куб. Каждая плоскость алмаза была вполне эвклидовой, но шесть острых точек были похожи на бесконечно сконцентрированные хранилища кривизны

Он попытался сгладить и выровнять шесть точек. Это было легко — но это сделало восемь треугольников такими же изогнутыми и неэвклидовыми какими они были на оригинальной сфере. Казалось "очевидным", что точки и треугольники невозможно никогда сделать плоскими одновременно, но Ятима все еще не мог понять причину почему эти две цели были невыполнимыми одновременно. Он измерил углы там, где четыре треугольника встречались: 90, 90, 90, 90. Это имело полный смысл:, чтобы лежать плоско и стыковаться хорошо без каких-либо промежутков, они должны дополнять друг друга до 360 градусов. Он вернулся к алмазу, и измерил те же углы снова: 60, 60, 60, 60. В общей сложности 240, и это было слишком мало, чтобы лежать в плоскости; нечто меньшее чем полный оборот заставляет поверхность свернуться подобно точке конуса…

Вот именно! Это было сердцем противоречия! Каждая вершина нуждается в углах, составляющие 360 градусов вокруг нее, для того, чтобы лежать плоско… тогда как каждая плоскость, эвклидовый треугольник поставлял только 180 градусов. Вдвое меньше. Так что если там было бы ровно в два раза больше треугольников в качестве вершин, все бы прекрасно складывалось — но с шестью гранями и только восемью треугольниками, там было недостаточно плоскостей, чтобы завершить оборот.

Ятима усмехнулся торжественно, и рассказал цепочку рассуждений. Радия спокойно сказал: "Хорошо. Вы только что открыли теорему Гаусса, связывающую число Эйлера и общую кривизну".

"Неужели?" Ятима почувствовал прилив гордости; Эйлер и Гаусс были легендами давно умерших флешеров, но их уровня редко кто достигал.

"Не совсем." Радия легко улыбнулся. "Вы должны посмотреть точную формулировку, хотя, я думаю, вы готовы для официального включения в римановы пространства. Но если все это начинает казаться слишком абстрактными, не бойтесь отступить и посмотреть некоторые дополнительные примеры".

"Хорошо". Ятиме не нужно было объяснять, что урок окончен. Он поднял руку в знак благодарности, а затем исчез из пространства..

На мгновение Ятима был в тишине, наедине со своими мыслями. Он знал, что он до сих пор не понимает понятия полной кривизны, но были десятки других способов об этом думать, но по крайней мере он постиг еще один фрагмент картины мира.

Тогда он прыгнул к Источникам Истины.

Он прибыл в похожее на пещеру пространство со стенами из темного камня, с включениями из серых вулканических минералов, грязновато-коричневых глин, пронизанных ржавыми красными полосами. В пол пещеры был внедрен странный, светящийся объект: дюжина плавающих искр света, вложенных в сложный набор эфемерных мембран. Мембраны формировались вложенными, концентрическими сериями, слоями Далиэскью — каждая серия, образовывала в высшей точке пузырь вокруг единственной искры, или случайной группы двух или трех искр. Так как искры дрейфовали, мембраны как бы текли, размещаясь таким образом, чтобы никакая искра не избегала вложения в свой пузырь.

В определенном смысле, Источники Истин были просто еще одним индексным пространством. Сотни тысяч видов специализированных выборов содержимого библиотеки были доступны здесь в аналоговом виде — и Ятима поднимался на Эволюционное Дерево, колесил по Периодический Таблице, шел по подобным проспектам Линиям Жизни для историй флешеров, глейснеров, и граждан полисов. Половиной мегатау ранее, он плавал по Эукариотической Клетке; каждый белок, каждый нуклеотид, углевод дрейфующий через цитоплазму имел широковещательные метки со ссылками на всю библиотеку, чтобы ответить на любой вопрос о молекуле.

В Источниках Истины, все-же, метки были не просто ссылками; они включили полные утверждения конкретных определений, аксиом, или теорем объективно представленные. Источники были замкнутыми: каждый математический результат, который флешеры и их потомки когда-либо доказали, находился в одном месте. Библиотечные комментарии были весьма полезными — но и сами истиной были полностью здесь.