Диаспора

Координатные линии выпрямились, перспектива стала глобально линейной. Они стояли как бы на бесконечной плоскости, в компании повторяющихся копий собственных иконок. Треугольники тоже распрямились, и Ятима, изготовив две идентичных копии одного, выполнила маневр с тремя треугольниками, который на манер работающего лопастного вентилятора показывал, как сумма углов постепенно приводится к 180 градусам.

- C топологической точки зрения ничего не изменилось! Я не протыкала поверхность, не сминала ее. Единственное различие состоит в том, что... - Они вернулись в лесную чащобу. Теперь тор преобразовался в короткий толстый цилиндр, причем все синие окружности, означавшие широты, приобрели одинаковые размеры, а меньшие красные кружки меридианов выглядели сплющенными до прямых. - Я повернула каждый меридиан на 90 градусов в четвертом пространственном измерении. Они только выглядят такими плоскими, ведь мы смотрим на них как бы с ребра. - Ятима повторила фокус в нижнепространственном аналогокружении: взяла полоску, протянула ее между парой концентрических колец, закрутила ее на 90 градусов от плоскости, потянув за край, и дополнительное измерение позволило всей полоске обрести одинаковый радиус. Для тора все выглядело так же: каждое колечко широты получило одинаковый радиус, как только появилась возможность растянуть его до недостающей длины в четвертом недостающем пространстве. Ятима обновила цветовую кодировку поверхности тора, раскрасив ее разными оттенками в градиенте от зеленого до коричневого, чтобы выявить вклад скрытого четвертого измерения. Оттенки внутренней и внешней поверхностей квазицилиндра совпадали только на верхнем и нижнем краях, где они состыковывались в четвертом измерении. В остальных местах на каждой стороне оттенки разнились, и это указывало, что поверхности остаются разделенными.

— Превосходно, - прокомментировала Радья. - А как выполнить аналогичное построение для сферы?

Ятима скорчила разочарованную гримаску.

-Я пыталась, честно! Невозможность этого угадывается интуитивно... но ведь так же мне казалось и тогда, для цилиндра, пока я не наткнулась на правильный трюк.

Между делом онона создала сферу и деформировала ее в куб, показав, что нужного результата это не принесло, поскольку в углах граней кривизна получилась сингулярной, а отнюдь не нулевой.

— Хорошо. Вот тебе подсказка. - Радья превратила куб обратно в сферу, потом наметила на ее поверхности три больших круга: один на экваторе, а еще два - на меридианах, отстоявших друг от друга на полных 90 градусов.

— Как я расчертила эту поверхность?

— Вы покрыли ее треугольниками. Правильными треугольниками.

Четыре в северном полушарии, четыре в южном.

— И что бы ты ни вытворяла с поверхностью, как бы ни сплющивала ее, как бы ни вытягивала и скручивала в тысяче измерений, - тебе все равно придется сохранить свойство покрытия поверхности таким вот способом, разве нет? Восемью треугольниками по шести точкам.

Ятима повозилась со сферой, деформировав ее последовательно перетекавшими друг в друга формами.

— Мне кажется, что вы правы. Но что же это дает нам?

Радья отмолчалась. Ятима придала объекту прозрачность, так что стали видны все треугольники одновременно. Они образовывали неплотную сеть, шеститочечную, застегнутую авоську туго натянутых струн. Онона выпрямила все двенадцать линий и тем значительно уплощила треугольники, но и сама сфера изменилась, превратившись в октаэдрический алмаз. Так же происходило и в прошлом построении, когда у негоё получился куб. Каждая грань алмаза обладала идеальной евклидовой топологией, но шесть узловых точек казались неисчерпаемыми резервуарами кривизны.

Онона попыталась сгладить и прижать к плоскости эту шестерку. Это удалось. Но теперь восемь треугольников искривились и приобрели неевеклидову топологию - какая была им присуща и на исходной сфере. Представлялось очевидным, что точки и треугольники нельзя одновременно привести к плоскостному расположению... но Ятима по-прежнему не могла уразуметь, почему две эти цели недостижимы по одному и тому же пути. Емей пришло в голову измерить углы стыковки четырех треугольников, там, где некогда находилась вершина алмаза: 90, 90, 90, 90 градусов. Результат соответствовал ожиданиям: чтобы замостить плоскость безо всяких промежутков, общая сумма углов должна равняться 360 градусам. Онона восстановила непритупленную алмазоподобную конструкцию и снова измерила углы: 60,60, 60, 60 градусов. Сумма углов равнялась 240 градусам, и этого было

недостаточно для приведения к плоскости. Если сумма меньше полной окружности, все, что онона натянет на поверхность, будет выпучиваться, подобно конусу...