До предела чисел. Эйлер. Математический анализ

Марен Мерсенн (1588-1648) был священником, музыкантом, математиком, философом и теологом, хотя его настоящим призванием была музыка, которой он посвятил большую часть своих сил. Не случайно во многих источниках его называют отцом акустики. Мерсенн установил основные законы вибрации струн, занимался вопросами гармонии и инструментальной музыки. Существует мнение, что во второй сюите Отторино Респиги "Старинные танцы и арии для лютни· есть фрагмент, написанный Мерсенном. Он также серьезно изучал телескопы и зеркала, став авторитетом в этой области. Мерсенн вел обширнейшую переписку и был в центре научных новостей в эпоху, когда они еще очень редко публиковались для широкой публики. Благодаря своим разносторонним интересам он познакомился со многими интеллектуалами своего времени, с которыми поддерживал отношения и завел дружбу, в частности с Декартом. Обладая рассудительным и рациональным умом, Мерсенн активно боролся с иррациональными верованиями — каббалой и магией. Он увлекался математикой и опубликовал различные работы древнегреческих авторов, таких как Архимед и Евклид, а также занимался числами. По мнению ученых, именно в этой области он сделал свой основной вклад, поэтому числа, которые он изучал, вида

М_Р 2^Р - 1,

были названы числами Мерсенна. Сегодня существует генератор псевдослучайных чисел, связанных с простыми числами Мерсенна, который носит имя ученого, — вихрь Мерсенна.

ЧИСЛА МЕРСЕННА

Эйлер хотел найти простые числа больших размеров. Многие математики до него ошибочно предполагали, что все числа М_р вида М_р = 2^р - 1, где Р — простое число, простые. Пьетро Катальди (1548-1626) в 1588 году доказал, что M₁₇ и М₁₉ простые, при помощи немного устаревшего, но стандартного для того времени метода, состоявшего в том, чтобы попытаться разделить их на простые числа, меньшие их квадратного корня. Впоследствии Марен Мерсенн, в честь которого эти числа обозначаются буквой М, составил целый список предполагавмых простых чисел, оказавшийся неточным, так как М₆₇ и М₂₅₇ повторялись два раза, а M₆₁, M₈₉ и M₁₀₇ в нем не было. Сегодня самым большим числом является M_43112609, в котором 12978189 цифр, в полном виде оно займет 50 таких книг, как эта.

В 1772 году Эйлер доказал, что число M₃₁ простое. Любопытно, что прошло более 100 лет, прежде чем было найдено следующее простое число — M₁₂₇. Сделал это французский математик Эдуард Люка (1842-1891) в 1876 году. Также простыми являются M₆₁ и M₈₉, но они были открыты позже. Таким образом, на протяжении 104 лет Эйлеру принадлежал рекорд по открытию самого большого простого числа.

КВАДРАТИЧНЫЙ ЗАКОН ВЗАИМНОСТИ

Квадратичный закон взаимности, превосходно сформулированный Гауссом в его Disquisitiones arithmeticae ("Арифметические исследования"), появился у Лежандра и Эйлера, который рассказал о нем Гольдбаху в письме 1742 года. Для начала определим, что такое символы Лежандра (p/q).

Предположим, что p и q — разные простые нечетные числа и

(p/q) =

0, если р 0 (mod q)

1, если х² р (mod q) разрешимое уравнение

-1, если х² p (mod q) неразрешимое уравнение.

Таким образом, Гауссу, а не Эйлеру, удалось доказать, что

(p/q) =

(q/p), если q 1 (mod 4)

(-q/p), если q 3 (mod 4)

Это можно выразить, хотя это и непросто, в одной формуле. Гаусс сделал это открытие в 19 лет и так гордился им, что назвал его aurum theorema — "золотой теоремой".

ДРУЖЕСТВЕННЫЕ И СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА