До предела чисел. Эйлер. Математический анализ

Предположим, что решением является f₀ и что функционал имеет здесь минимум; назовем (x) функцию (которую мы будем "варьировать"), равную нулю в экстремумах x1, х₂. Поскольку в f₀ функционал имеет минимум,

S(f₀)=S(f₀+)

в окрестности f₀. Вариационный размах

f = f₀ +

должен удовлетворять:

dS(f₀ + )/d|=0 = _x1^x2dL/d|₌₀ = 0

Теперь вспомним, что

df/d = ,df'/d = '.

Применим правило дифференцирования и проведем необходимые замены.

Получим

dL/d = L/f df/d + L/f' df'/d = (L/f) + L/f''

A теперь проинтегрируем по частям и учтем предыдущую формулу:

Поскольку выражение слева — ноль, то нулем будет и выражение справа. Следовательно,

dL/df = d/dx L/df' = 0

Таким образом, мы получили уравнения Эйлера — Лагранжа, которые в приложениях обычно приводят к дифференциальным уравнениям второго порядка.

5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Эйлер вывел свою фундаментальную формулу, из которой впоследствии получил еще несколько из простых рядов Тейлора. Напомним, что степени ведут себя так:

i0 = 1,i1 = i,i2 = -1,i3 = -i,

i⁴ - 1, i⁵ = i, i⁶ = 1,i7 = i и так далее.

Напомним также, что ряды степеней е и тригонометрических функций синус и косинус раскладываются в ряд Тейлора или степенной ряд следующим образом:

ex = x⁰/0! + x¹/1! + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + ...

cosx = x⁰/0! + x²/1! + x⁴/4! + x⁶/6! + ...

sinx = x¹/1! + x³/3! + x5/5! + x⁷/7! + ...

Произведем вычисления:

e^ix = (iz)⁰/0! + (iz)¹/1! + (iz)³/3! + (iz)⁴/4! + (iz)⁵/5! + (iz)⁶/6! + (iz)⁷/7! + (iz)⁸/8! + ... = z⁰/0! + i(z¹/1!) + z²/2! + i(z³/3!) + z⁴/4! + i(z⁵/5!) + z⁶/6! + i(z⁷/7!) + z⁸/8! + ... = (z⁰/0! + z²/2! + z⁴/4! + z⁶/6! + z⁸/8! + ...) + i(z¹/1! + z³/3! + z⁴/4! + z⁶/6! + z⁸/8! + ...).

6. КРИПТОГРАФИЯ И МАЛАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА

Пусть М — сообщение, а С — зашифрованное сообщение (или криптограмма). Предположим, что оба они — натуральные числа. Обозначим через f функцию, которая преобразует М в С: f(M) = С. Чтобы зашифровать М, выбирают два очень больших простых числа, р и q, и определяют модуль, который мы назовем n, так что n = pq и n М. Выберем такое е, что 1 е (n), а е и (n) взаимно простые числа. Открытый ключ состоит из n и е, и он всем известен. Поскольку n — очень большое число, узнать значение р и q невозможно. Мы имеем E = f(M) M^e (mod n). Назовем закрытым ключом пару n, d, где d выбрано так, что de 1 (mod (n)). Поскольку и q — простые числа, a pq = n, получим, что (n) = (р - 1)(q - 1); если мы не знаем p и q, а узнать их фактически невозможно, то мы не можем узнать и (n). Следовательно, мы не можем узнать d. Но у получателя есть значение d, следовательно, он знает р и q и может перейти к расшифровке сообщения: E^d (M^e)^d (mod n) М^ed (mod n) M^N(n)+1 (mod n), N € . Теперь применим малую теорему Ферма. Если а = M^N (a и n почти стопроцентно взаимно простые), то, применяя теорему, мы получаем: E^d Ма⁽ⁿ⁾ (mod n) M (mod n) = M, поскольку М n, как мы договорились в начале.

Из этого объяснения видно, что создать ключ расшифровки довольно легко, поскольку нужны всего два больших простых числа, р и q, а разложить его, напротив, очень трудно.

Список рекомендуемой литературы

Bell, Е.Т., Los grandes matemdticos, Buenos Aires, Losada, 2010.

Boyer, C., Historia de la matematica, Madrid, Alianza Editorial, 2007.

Bradley, R., et Sandifer, E. (editores), Leonhard Euler: life, work and legacy, Amsterdam, Elsevier B.V., 2007.

Dunham, W., Euler, el maestro de todos nosotros, Madrid, Nivola,

2000.

Galindo, A. et al., La obra de Euler: tricentenario del nacimiento de Leonhard Euler (1707-1783), Madrid, Instituto de Espana, 2009.

Stewart, I., Historia de las matemdticos, Madrid, Critica, 2008.

Vargas, G., Calzada, G., Euler, el matemdtico, Madrid, El rompeca- bezas, 2011.

Указатель

Ars conjectandi 125

Dioptricae 141

Institutiones calculi differentialis 8, 3, 103, 107

Institutiones calculi integralis 8, 13, 103, 107

Introductio in analysin infinitorum 8, 13, 28, 31, 34, 51, 103, 104, 106

Principes g'en'eraux du mouvement des fl uides 97

RSA 129

Solutio facilis problematum

quorundam geometricorum diffi cillimorum 91

Vollst`andige anleitung zur algebra 141

алгоритм 64, 120, 138

Апери постоянная 65

Араго, Франсуа 39, 103

барицентр 92

Берлинская академия наук 9, 13, 24, 72, 77, 78, 91, 114, 116

Бернулли

Даниил 24, 37-39, 60, 65, 141

Иоганн 9, 13, 18-24, 61

Николай 24, 84

Якоб 9, 18, 19, 20-24, 48-50, 55, 124

брахистохрона 20-22

Бугер, Пьер 22, 25

Бэббидж, Чарльз 64, 65

Вейерштрасс, Карл 41, 56

Венн, диаграммы 101

Вольтер 39, 75-78

Гаусс, Карл Фридрих 19, 29, 91, 101, 103, 105, 127, 131-133

Герои Александрийский 87

Гзель, Катерина 13, 38, 60, 117

гидродинамика 7, 19, 24, 98

Гольдбах, Кристиан 11, 13, 24, 28, 37-39, 44-46, 50, 62, 82-85, 95, 110, 117, 131

проблема 11, 13, 82-85

граф 67-69

Гюйгенс, Христиан 48, 49, 102

Д’Аламбер, Жан Батист Лерон 71, 77, 78, 90, 91, 99

Декарт 13, 18, 22, 71, 79, 103, 130, 133

Дидона, задача 87

Дидро, Дени 90, 115

диск Эйлера 11, 140