До предела чисел. Эйлер. Математический анализ

В 1738 году он получил Grand Prix Парижской академии — за который также боролись Вольтер и Эмили дю Шатле — за свое эссе об огне. Два года спустя, в 1740 году, Эйлер снова выиграл, обогнав Даниила Бернулли и Колина Маклорена, в этот раз за эссе об отливах и приливах.

ГАММА-ФУНКЦИЯ

Сразу же по приезду в Санкт-Петербург Эйлер одно за другим начал делать открытия, которые оказали огромное влияние на его научную жизнь. Считается, что первым из его моментов славы стало создание функции Г (заглавная греческая буква "гамма*), базового инструмента математического анализа. Намеки на Г появлялись в переписке между Даниилом Бернулли и Кристианом Гольдбахом уже около 1720 года, но только в 1729 году Эйлер впервые дал ей определение, а в 1814 году Адриен Мари Лежандр (1752-1833) ввел обозначение "гамма", записав его так: Г(x). Гамма-функция часто появляется в распределении вероятностей и активно используется физиками.

Обычно ее можно встретить в описании явлений, требующих применения экспоненциальных интегралов, типичных для атомной физики; она также распространена в астрофизике, динамике жидкостей и сейсмологии. Эта функция применяется во многих областях математики, особенно в комбинаторике и, в частности, в анализе дзета-функций Римана, имеющих огромное значение в изучении простых чисел. Целью Эйлера было найти способ интерполяции, как это называлось в то время, заключавшейся в том чтобы, зная крайние значения переменной, вывести ее промежуточные значения естественным образом, не прибегая к искусственным методам. Рассмотрим пример. Так называемый факториал натурального числа л! в арифметике, впервые встречающийся у Кристиана Крампа (1760-1826), равен

n! = n(n - 1)(n -2) · ... · 3 · 2 · 1,

то есть является произведением всех натуральных чисел, меньших или равных л. Факториал — чрезвычайно быстро растущая функция, как видно из следующей таблицы.

n

n!

0

1

1

1

2

2

3

6

4

24

5

120

6

720

7

5040

8

40 320

9

362 880

10

3628 800

100

9,3326215444 · 10

¹⁵⁷

1000

4,0238726008 · 10

²⁵⁶⁷

10000

2,8462596809 · 10

³⁵⁶⁵⁹

100000

2,824229408 · 10

⁴⁵⁶⁵⁷³

Факториал определен только для натуральных чисел; последовательность факториала прерывна. Интерполировать факториал означает продлевать его, пока не найдется непрерывная функция f(x) которая равна n!, когда значение х равно значению натурального n.

Почти банальным примером является понятие квадрата числа. Пусть дано натуральное число n, его квадрат будет равен n² = n · n. Его можно интерполировать на любое вещественное число х, просто записав f(x) = х². Эйлер интерполировал факториал n! и в 1729 году нашел непрерывную функцию f(x), которая вела себя как факториал, когда x = n был натуральным числом. Мы будем называть ее Г(х), что, собственно, и является ее современным обозначением. Эйлер определил значение

Г(x) в каждой точке посредством того, что сегодня мы бы назвали пределом:

Г(x) = lim_n→∞(n!n^x)/(x (х+1)(х+2)...(х+n).

Сейчас вместо этого выражения используется интегральный вид:

Г(x) = ∫₀^∞ е^-tt^z-1dt.

Он более прост, с ним легче работать, и к тому же он действителен в области комплексных чисел. При глубоком изучении Г(х) из нее можно получить огромное количество интереснейших для математиков формул, например

Г(1 - z)Г(z) = π/sin(πz),

которая связывает гамма-функцию с числом π и тригонометрическими функциями.

ДРУГИЕ ФОРМЫ ГАММА-ФУНКЦИИ

Определить Г(х) можно разными способами. В XIX веке была особенно популярна формула Карла Вейерштрасса (1815-1897), в которой используется постоянная Эйлера (она обозначается буквой у" тоже "гамма", но строчная):

Г(z) = e^-γz/z ∏_n=1^∞(1 + z/n)^-1e^z/n

Для этой функции верно:

Г(1)=1

Г(1 + х) = хГ(х).

При помощи гамма-функции выводится знаменитая формула Стирлинга (1692-1770), которая считается образцом красоты символов, поскольку в ней гармонически сочетаются постоянные π,е и число n:

n! = √(2πn)(n/e)ⁿ

И наконец, скажем о связи между гамма и дзета-функцией ξ(z). Последняя имеет огромное значение в теории чисел, в частности в интереснейшей области простых чисел:

ξ(z)Г(z) = ∫₀^∞t^z-1/(e^t-1)dt.

БЕТА-ФУНКЦИЯ

Изучая гамма-функцию, Эйлер натолкнулся на еще одну, получившую название "бета" и обозначенную буквой В. Она также очень полезна в области анализа, и ее можно определить разными способами. Один из них — с помощью интеграла:

при условии, что действительные части х и у являются положительными. Еще один способ состоит в использовании гамма-функции, которую мы определили выше:

В(х,у) = Г(x)Г(y)/Г(x+y).

ЧИСЛА ФЕРМА