До предела чисел. Эйлер. Математический анализ

В прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей прямой угол, равен вместе взятым квадратам на сторонах, заключающих прямой угол. Если в треугольнике квадрат на одной стороне равен вместе взятым квадратам на остальных двух сторонах, то заключенный между остальными двумя сторонами треугольника угол есть прямой. ("Начала")

Этот случай демонстрирует прогресс, достигнутый благодаря использованию знаков. Среди символов, созданных Эйлером или ставших благодаря ему популярными и использующихся и по сей день, особенно выделяются следующие.

Один из самых известных портретов Эйлера" написанный Якобом Эмануэлем Хандманом в 1753 году, когда ученый жил в Берлине. На картине уже заметна болезнь глаз, от которой Эйлер страдал с 1735 года. Ученый ослеп сначала на один глаз, а затем на другой, но никогда не прекращал интенсивных занятий математикой.

— π: ни один из знаков, введенных Эйлером, не имел такого успеха, как π — символ соотношения между длиной окружности и ее диаметром, иррациональное и трансцендентное число, приблизительно равное π = 3,1415926535... Впервые эта греческая буква была использована англичанином Уильямом Джонсом (1675- 1749), который выбрал ее потому, что с нее начиналось слово "периферия", но именно Эйлер сделал ее знаменитой, опубликовав в 1748 году свою книгу "Введение в анализ бесконечно малых".

— Постоянная е: Эйлер впервые обозначил символом "е" основание натуральных логарифмов еще в письме Гольдбаху 1731 года, говоря о пределе

lim_n→∞(1 + 1/n)ⁿ

и о сумме бесконечного ряда:

e = 1 + 1/1 + 1/(1·2) + 1/(1·2·3) + 1/(1·2·3·4 + ...)

Тем не менее только в уже упомянутом "Введении..." Эйлер углубил и развил свои идеи относительно е и даже вычислил первые 26 цифр:

е = 2,71828182845904523536028747...

Почему Эйлер выбрал именно букву е, неизвестно. Существует мнение, что выбор пал на нее, поскольку это первая буква его собственного имени или слова "экспонента", но это всего лишь догадка.

— i: на протяжении большей части своей жизни Эйлер, не обладая строгим и правильным определением предела, записывал как

ex = (1 + x/i)ⁱ,

то, что сегодня мы бы записали как

e^x = lim_n→∞(1 + x/n)^n.

В этом примере буква i символизирует бесконечное число. Но в 1777 году ученый передумал и стал использовать ее для обозначения мнимой единицы (комплексного числа). Статья 1777 года была опубликована только в 1794 году, но Гаусс, а с ним и все математическое сообщество, сразу же начали использовать i. Эта буква была выбрана как первая в немецком слове "мнимый".

— у = ƒ(x): Эйлер стал первым ученым, использовавшим современное понятие функции, связав заданное значение х с получившимся значением у посредством соотношения, названного ƒ. Область определения и значений ƒ были четко обозначены. Функция появляется уже в 1734-1735 годах в Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae — первом журнале Петербургской академии наук. И хотя современное понятие функции немного отличается от того, которое имел в виду Эйлер, нельзя не признать, что он сделал огромный шаг вперед в том, что касается ясности определений и описания.

— Σ (сигма): Эйлер выбрал эту букву для обозначения суммы последовательности чисел, подчиняющейся какому-либо правилу, которое записывается над или под символом. В общем случае сумма элементов х, где i — "счетчик" слагаемых, идущих от m до n, записывается так:

Σ_i=mⁿx_i = x_m + x_m+1 + x_m+2 + ... + x_n-1 + x_n.

Сигма — греческий аналог буквы "с", с которой начинается слово "сумма", поэтому ее использование кажется вполне логичным. В течение жизни Эйлер вычислил сотни таких последовательностей, многие из которых были бесконечными. При n = ∞ последовательность называется рядом. Возможно, самая знаменитая в своей простоте последовательность Эйлера — это последовательность из Базельской задачи, которую он вычислил в 1735 году, на пике своего математического творчества (мы поговорим о ней подробней в следующей главе):

Σ_n=1^∞1/n²  = π²/6.

Никто не ожидал, что в сумме этой последовательности будет задействовано число π, и его появление внесло настоящую неразбериху в умы ученых.

— Заглавные и строчные буквы: в любом треугольнике стороны обозначаются строчными буквами, а соответствующие углы — теми же буквами, но заглавными (рисунок 1).

РИС. 1

РИС . 2

РИС 3