Древнеарийская философия том 1 и том 2

Разумеется, при сравнении возможна и констатация равенства. Подобные обстоятельства складываются при игнорировании некоторых деталей, обусловленных спецификой ситуации.

Однако, обычно в ходе таких сравнений какой-то из объектов обязан «выходить из игры». Как следствие, сравнение невозможно без выбора, и потому оно является одним из следствий действия выбирающей функции.

Любые измерения, проводимые при помощи обсуждаемой линейки, дают конечные величины. Данное обстоятельство проистекает из конечности возможностей любых объектов Мироздания.

Гарантируя возможность сравнения, аксиома выбора не проливает света на то, как оно в самых общих чертах реализуется на практике в любой ситуации. Подобное обстоятельство характеризует не только связанную с аксиомой выбора абстрактность, но и показывает, что принцип сравнения эквивалентен принципу познания.

В наиболее общей формулировке принцип сравнения приводит к выделению эталона измерений, числовой системы и определению алгебраических операций, являющихся основой познания, а также проявления объектов в Мироздании. Изучение же сущности алгебраических операций приводит к выводу об их связи с дифференцированием¹¹, которое можно рассматривать как наиболее совершенную форму сравнений.

Отсутствие формулы у выбирающей функции. Собственно говоря, парадоксы аксиомы выбора, о которых вскользь будет говориться ниже, снискавшие ей не совсем здоровую славу, объясняются отсутствием «формулы выбирающей функции» в самом общем случае. Иначе говоря, функция имеется, а формулы её нет.

Да, для отдельных частных случаев «частную формулу выбирающей функции» построить бывает можно и иногда очень даже легко. Но, данный факт не изменяет общей ситуации, приводя к ряду важных выводов.

Отсутствие обсуждаемой формулы делает возможным принцип сжимающих отображений и процесс познания. Оно также объясняет вероятностный характер проявленного мира.

Возможность познания, видимо, является наиболее важным следствием отсутствия формулы выбирающей функции. В конечном счёте, процесс познания доставляет занимающемуся им человеку неизгладимое чувство удовлетворения от созерцания своих достижений, позволяя время от времени пофилософствовать на тему о том, как неразумно устроен мир.

Структура аксиомы выбора. Различные варианты аксиомы выбора различаются по мощностям множеств реализации её работы. В самом общем случае множества отличаются друг от друга по числу своих элементов.

Отметим, что в математике под «счётным множеством» или «счётной мощностью» понимается множество, взаимнооднозначно отображаемое на натуральный ряд. Множество, число элементов которого конечно, считается представителем «конечного множества» или «конечной мощности».

Все действительные числа и взаимнооднозначно отражаемые на них множества дают пример «мощности континуума» или просто «континуума». В математике имеются и более мощные множества, чем континуум, но в явно виде в настоящей книге они использоваться не будут.

В математике все конечные множества считаются представителями конечной мощности. Бесконечные множества, имеющие одинаковое число элементов, полагаются эквивалентными друг другу.

Равное число элементов обосновывается наличием хотя бы одного отображения по принципу «один-в-один». Помимо него обычно существуют и другие связи, не дающие взаимнооднозначное отображение.

Однако, они во внимание не принимаются, а вывод делается на базе отображения, реализующего полный перебор двух множеств путём сопоставления друг другу только различных их элементов. Конечно же, такая взаимосвязь представляет собой единственную неподвижную точку всех прочих отношений между выбранными множествами.

Для подчеркивания того, что речь идёт именно о данном аспекте, говорят даже не о множествах, а о мощностях, которые объединяют однотипные множества. Как следствие, различные варианты аксиомы выбора различаются по типам мощностей, на которых она действуют.

Аксиома выбора, будучи наиболее общей формулировкой метода сжимающихся отображений, применима и к такому вопросу, как число шагов сходимости метода сжимающихся отображений. В подобной ситуации единственной неподвижной точкой является сходимость за конечное число шагов или конечная мощность.

Данным типом сходимости обладают счётный и конечный варианты аксиомы выбора. Другим мощностям такое также под силу, но далеко не всегда.

Собственно говоря, конечный вариант аксиомы выбора является отдельным её вариантом, надо сказать тривиальным. В крайнем случае, он задаётся путём перебора, но в специфике рассматриваемого подхода его имеет смысл включить в счётный вариант аксиомы выбора как его частный случай.