Древнеарийская философия том 1 и том 2

«Одна из таких теорем известна под названием парадокса Банаха-Тарского. В нестрогой формулировке эта удивительная теорема звучит следующим образом. Пусть даны два шара – один размером с футбольный мяч, а другой – размером с Землю. Оба шара можно разбить на конечное число непересекающихся частей так, что каждая часть одного шара будет конгруэнтна одной, и только одной, части другого шара. Иначе говоря, теорема Банаха-Тарского означает, что, разрезав земной шар на мелкие кусочки и переложив их в другом порядке, мы можем получить футбольный мяч. Ранее, в 1914 г. был получен ещё один парадоксальный результат (составляющий на самом деле частный случай парадокса Банаха-Тарского): было показано, что, разбив шар на четыре части, мы можем переложить эти части так, что получатся два шара того же радиуса, что и исходный шар (парадокс сфер – прим. автора). В отличие от парадоксов, с которыми столкнулась в начале XXв. теория множеств, парадокс Банаха-Тарского и его ранее известный частный случай не являются противоречиями. Это логические следствия из аксиом теории множеств и аксиомы выбора»

Однако, все связанные с аксиомой выбора парадоксы обладают тем свойством, что используемые для их демонстрации конструкции, хотя и могут быть описаны, но не могут быть реализованы. Иначе говоря, они являются фантомами, и данное обстоятельство, как выяснится ниже, вовсе не случайно.

В результате, гарантируемый аксиомой выбора процесс извлечения в отношении их уже таковым не является. Продемонстрируем данное обстоятельство на описанном выше примере минимального числа, строго большего 5 (пяти).

Прежде всего, оно является иррациональным числом, тогда как в процессе познания и в любой прикладной работе практически используются только рациональные числа, поскольку только они и могут быть реально сконструированы. Подобное происходит даже того, когда они применяются в качестве приближения иррациональных чисел.

Множество рациональных чисел, с точки зрения своей структуры, представляет собой редкое сито¹⁶. Собственно говоря, для его плотного заполнения и вводятся иррациональные числа, для которых рациональные числа оказываются единственной неподвижной точкой.

Структуры множеств и ослабление аксиомы выбора. В математике принято получать множества, начиная от пустого множества, путём усложнения их структуры на базе уже имеющихся множеств. Единственной неподвижной точкой такого подхода является констатация того факта, что базовые или самые простые множества большей мощности получаются как множества всех подмножеств наиболее сложного варианта множеств предыдущей мощности.

Исключения из сформулированного правила представляют конечные множества. Конечно же, подобное их положение объясняется тем, что конечные варианты аксиомы выбора являются частными случаями её счётной реализации.

Данное правило построения более сложных множеств на базе менее сложных или «принцип самодостаточности» в своих алгебраических формулировках известны как «гипотеза континуума»¹⁷. Из гипотезы континуума, учитывая 7связанную с нею упорядоченность мощностей множеств, вытекает аксиома выбора¹⁸, и такое обстоятельство, конечно же, ставит сформулированный принцип самодостаточности в исключительное положение.

Отход от гипотезы континуума эквивалентен отказу от принципа самодостаточности. Логическим следствием такого обстоятельства является ослабление получаемых как следствия модификаций аксиомы выбора, закономерно приводящих к уменьшению возможностей познания.