Двенадцать размышлений об «анонимных алкоголиках» и о программе «12 шагов»

Специалист в области исторической географии найдёт в этом графике много общего с кривыми роста некоторых древних многонациональных государств, как, например, Римская империя, Российская империя и Оттоманская Порта, но при этом сделает важное замечание: скажет, что в исторической географии такие графики предназначены для оценки темпов роста не населения, а территории (см., напр.: Колесников, 2003. С.45-51).

Экономист скажет, что график демонстрирует одну из возможных графических представлений о динамике насыщения рынка каким-то товаром ограниченного спроса (так наз. «бум-кривая»; см., напр.: Жизненный цикл продукта, 2021).

То, что эти кривые имеют приложение в столь далёких друг от друга областях знания, доказывает, что они являются графическим выражением какого-то более общего закона. Очень часто такие закономерности оказываются давно известны математикам, которые, казалось бы, вообще не от мира сего и выводят свои законы чисто умозрительным путём, без всякой связи с реальностью. Действительно, если показать наши кривые математику, то он наверняка пожмёт плечами и скажет, что первая из двух кривых это какие-то каракули, а вот вторая представляет собой хорошо известную математическую функцию, которая в учебниках носит название «S-образной» или «логистической» и является графическим выражением уравнения Ферхюльста, описывающего такие формы роста, при которых происходит постоянное удвоение растущей величины за равные отрезки времени, при том дополнительном условии, что этот рост ограничен неким верхним пределом, по мере приближения к которому его скорость под действием неких сил начинает замедляться вплоть до полной остановки (Логистическое уравнение, 2021).

В символьном выражении это уравнение имеет следующий вид:

где Nt – количество групп АА в момент времени t;

Nmax – максимально возможное число групп АА;

e – основание натурального логарифма ≈ 2,7182;

a – коэффициент, определяющий минимальное значение N (чем он больше, тем эта точка не графике ниже, и наоборот);

b – коэффициент наклона логистической кривой (чем она больше, тем кривая круче, и наоборот);

t – время с момента начала роста (на прилагаемом графике «годы»).

С прикладной точки зрения, самым ценным свойством этого уравнения следует считать то, что результаты описываемых им процессов принципиально предсказуемы. Так, если мы будем взвешивать растущую тыкву через равные промежутки времени, заносить результаты взвешивания в таблицу, наподобие табл.2, и отмечать их на графике того же вида, что на рис.2, то получив всего несколько (но не менее трёх) точек, мы можем провести через них плавную кривую, продолжение которой покажет нам, в какой момент времени вес тыквы достигнет своего максимального значения и сколько она в этот момент будет весить. Но таким же способом мы можем измерять и предсказывать не только вес тыкв, но рост вообще всего, что поддаётся измерению: например, рост числа групп АА в стране или во всём мире. Единственное, что для этого требуется – это соблюдение двух оговоренных выше условий: 1) этот рост должен демонстрировать постоянное «удвоение» значений через равные промежутки времени, т.е. он должен иметь вид прогрессии (2, 4, 8, 16, 32, 64 и т.д.); и 2) мы должны быть уверены, что этот рост имеет «верхний предел».

На практике это осуществляется путём довольно кропотливого подбора значений “a”, “b” и Nmax и последующей их подстановки в уравнение (1), с тем чтобы достичь максимального совпадения точек кривой «предсказанного роста» с точками кривой «наблюдаемого роста».

В данном случае, значения a и b и Nmax были приняты равными 3.25 и 0.1 и 125000.