Энциклопедический словарь юного математика

Оказывается, что с помощью этих свойств можно определить понятие длины и для кривых линий. Линию L, которая соединяет две точки A,B и не пересекает себя, называют простой дугой с концами A и B. Основной результат теории длины (теорема существования и единственности) утверждает, что на множестве всех простых дуг существует и притом только одна функция l(L), называемая длиной, которая обладает пятью сформулированными выше свойствами. Разница будет лишь в том, что для некоторых простых дуг длина оказывается бесконечной; такие простые дуги называют неспрямляемыми.

Для вычисления длины используют вписанные ломаные. Идя вдоль простой дуги L от одного конца A к другому концу B, мы можем последовательно отметить на L несколько точек A₁,A₂,...,A_n и рассмотреть вписанную ломаную AA₁A₂...A_n. Если теперь {L_n} – такая последовательность вписанных в линию L ломаных, что наибольшее звено ломаной L_n стремится к нулю при n → ∞, то эта последовательность сходится к L. Следовательно, . С другой стороны, длина каждого звена |A_iA_i + 1| вписанной ломаной не больше длины соответствующей дуги линии L, откуда следует, что l(L_n) ≤ l(L), и потому . Таким образом,

.

Линия L будет нсспрямляемой. т.е. l(L) бесконечна, если существует вписанная ломаная какой угодно большой длины. Таков, например, график непрерывной функции f(x) = x sin 1/x  (0 < x ≤ 1), дополненной соглашением f(0) = 0 (рис. 4).

Рис. 4

Заметим, что если функция f(x), рассматриваемая на [a,b], имеет непрерывную производную, то график L этой функции является спрямляемой простой дугой, и ее длина равна

.

Справедливость этого соотношения поясняется:

dy = f'(x)dx,   ds² = dx² + dy², ,

где s – длина дуги кривой от точки A до M. С помощью этой теоремы можно вычислять длины различных кривых. Например, длина дуги параболы y=x² на отрезке [-a,a] равна

.

Древние математики не владели понятиями математического анализа. Однако они умели вычислять длины окружности и некоторых спиралей.

Вычисляя периметры правильных вписанных 2ⁿ-угольников и описанных 2ⁿ-угольников, Архимед нашел, что число π, участвующее в формуле длины окружности: C = 2πr, заключено между 3 10/71 и 3 1/7, т.е.

3,1408 < π < 3,1429.

ЛОБАЧЕВСКОГО ГЕОМЕТРИЯ

История создания геометрии Лобачевского одновременно является историей попыток доказать пятый постулат Евклида. Этот постулат представляет собой одну из аксиом, положенных Евклидом в основу изложения геометрии (см. Евклид и его «Начала»). Пятый постулат – последнее и самое сложное из предложений, включенных Евклидом в его аксиоматику геометрии. Напомним формулировку пятого постулата: если две прямые пересекаются третьей так, что по какую-либо сторону от нее сумма внутренних углов меньше двух прямых углов, то по эту же сторону исходные прямые пересекаются. Например, если на рис. 1 угол α – прямой, а угол β чуть меньше прямого, то прямые l₁ и l₂ непременно пересекаются, причем справа от прямой m. Многие теоремы Евклида (например, «в равнобедренном треугольнике углы при основании равны») выражают гораздо более простые факты, чем пятый постулат. К тому же проверить на эксперименте пятый постулат довольно сложно. Достаточно сказать, что если на рис. 1 расстояние |AB| считать равным 1 м, а угол β отличается от прямого на одну угловую секунду, то можно подсчитать, что прямые l₁ и l₂ пересекаются на расстоянии свыше 200 км от прямой m.

Рис. 1

Многие математики, жившие после Евклида, пытались доказать, что эта аксиома (пятый постулат) – лишняя, т.е. она может быть доказана как теорема на основании остальных аксиом. Так, в V в. математик Прокл (первый комментатор трудов Евклида) предпринял такую попытку. Однако в своем доказательстве Прокл незаметно для себя использовал следующее утверждение: два перпендикуляра к одной прямой на всем своем протяжении находятся на ограниченном расстоянии друг от друга (т.е. две прямые, перпендикулярные третьей, не могут неограниченно удаляться друг от друга, как линии на рис. 2). Но при всей кажущейся наглядной «очевидности» это утверждение при строгом аксиоматическом изложении геометрии требует обоснования. В действительности использованное Проклом утверждение является эквивалентом пятого постулата; иначе говоря, если его добавить к остальным аксиомам Евклида в качестве еще одной новой аксиомы, то пятый постулат можно доказать (что и сделал Прокл), а если принять пятый постулат, то можно доказать сформулированное Проклом утверждение.

Рис. 2

Критический анализ дальнейших попыток доказать пятый постулат выявил большое число аналогичных «очевидных» утверждений, которыми можно заменить пятый постулат в аксиоматике Евклида. Вот несколько примеров таких эквивалентов пятого постулата.