Энциклопедический словарь юного математика

В 1830 г. в «Казанском вестнике» выходит работа «О началах геометрии», представляющая собой извлечение из доклада на Совете. Чтобы разобраться в ситуации, решили воспользоваться помощью столицы: в 1832 г. статью послали в Петербург. И здесь никто ничего не понял, работа была квалифицирована как бессмысленная. Не следует слишком сурово судить русских ученых: нигде в мире математики еще не были готовы воспринять идеи неевклидовой геометрии.

Ничто не могло поколебать уверенность Лобачевского в своей правоте. В течение 30 лет он продолжает развивать свою геометрию, пытается делать изложение более доступным, публикует работы по-французски и по-немецки.

Немецкую версию изложения прочитал Гаусс и, разумеется, понял автора с полуслова. Он прочитал его работы на русском языке и оценил их в письмах к ученикам, но публичной поддержки новой геометрии Гаусс не оказал.

Н. И. Лобачевский дослужился до высоких чинов, он был награжден большим числом орденов, пользовался уважением окружающих, но о его геометрии предпочитали не говорить, даже в те дни, когда Казань прощалась с ним. Прошло еще не менее двадцати лет, прежде чем геометрия Лобачевского завоевала права гражданства в математике.

------------------------------------------

Мы кратко коснулись только некоторых фактов геометрии Лобачевского, не упоминая многих других очень интересных и содержательных теорем (например, длина окружности и площадь круга радиуса r здесь растут в зависимости от r по показательному закону). Возникает убежденность, что эта теория, богатая очень интересными и содержательными фактами, в самом деле непротиворечива. Но эта убежденность (которая была у всех трех творцов неевклидовой геометрии) не заменяет доказательства непротиворечивости.

Чтобы получить такое доказательство, надо было построить модель. И Лобачевский это хорошо понимал и пытался ее найти.

Но сам Лобачевский этого уже не смог сделать. Построение такой модели (т.е. доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского) выпало на долю математиков следующего поколения.

В 1868 г. итальянский математик Э. Бельтрами исследовал вогнутую поверхность, называемую псевдосферой (рис. 10), и доказал, что на этой поверхности действует геометрия Лобачевского! Если на этой поверхности нарисовать кратчайшие линии («геодезические») и измерять по этим линиям расстояния, составлять из дуг этих линий треугольники и т.д., то оказывается, что в точности реализуются все формулы геометрии Лобачевского (в частности, сумма углов любого треугольника меньше 180°). Правда, на псевдосфере реализуется не вся плоскость Лобачевского, а лишь ее ограниченный кусок, но все же этим была пробита первая брешь в глухой стене непризнания Лобачевского. А через два года немецкий математик Ф. Клейн (1849-1925) предлагает другую модель плоскости Лобачевского.

Рис. 10

Клейн берет некоторый круг K и рассматривает такие проективные преобразования плоскости (см. Проективная геометрия), которые отображают круг K на себя. «Плоскостью» Клейн называет внутренность круга K, а указанные проективные преобразования считает «движениями» этой «плоскости». Далее, каждую хорду круга K (без концов, поскольку берутся только внутренние точки круга) Клейн считает «прямой». Поскольку «движения» представляют собой проективные преобразования, «прямые» переходят при этих «движениях» в «прямые». Теперь в этой «плоскости» можно рассматривать отрезки, треугольники и т.д. Две фигуры называются «равными», если одна из них может быть переведена в другую некоторым «движением». Тем самым введены все понятия, упоминаемые в аксиомах геометрии, и можно производить проверку выполнения аксиом в этой модели. Например, очевидно, что через любые две точки A,B проходит единственная «прямая» (рис. 11). Можно проследить также, что через точку A, не принадлежащую «прямой» a, проходит бесконечно много «прямых», не пересекающих a. Дальнейшая проверка показывает, что в модели Клейна выполняются и все остальные аксиомы геометрии Лобачевского. В частности, для любой «прямой» l (т.е. хорды круга K) и любой точки A этой «прямой» существует «движение», переводящее ее в другую заданную прямую l' с отмеченной на ней точкой A'. Это и позволяет проверить выполнение всех аксиом геометрии Лобачевского.

Рис. 11