Энциклопедический словарь юного математика

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то в евклидовой геометрии равны и третьи углы (такие треугольники подобны). В геометрии Лобачевского не существует подобных треугольников. Более того, в геометрии Лобачевского имеет место четвертый признак равенства треугольников: если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Разность между 180° и суммой углов треугольника ABC в геометрии Лобачевского положительна; она называется дефектом этого треугольника. Оказывается, что в этой геометрии площадь треугольника замечательным образом связана с его дефектом: S_ABC = k·D_ABC, где S и D означают площадь и дефект треугольника, а число k зависит от выбора единиц измерения площадей и углов.

Пусть теперь AOB – некоторый острый угол (рис. 5). В геометрии Лобачевского можно выбрать такую точку M на стороне OB, что перпендикуляр MQ к стороне OB не пересекается с другой стороной угла. Этот факт как раз подтверждает, что не выполняется пятый постулат: сумма углов α и β меньше развернутого угла, но прямые OA и MQ не пересекаются. Если начать приближать точку M к O, то найдется такая «критическая» точка M₀, что перпендикуляр M₀Q₀ к стороне OB все еще не пересекается со стороной OA, но для любой точки M', лежащей между O и M₀, соответствующий перпендикуляр M'Q' пересекается со стороной OA. Прямые OA и M₀Q₀ все более приближаются друг к другу, но общих точек не имеют. На рис. 6 эти прямые изображены отдельно; именно такие неограниченно приближающиеся друг к другу прямые Лобачевский называет в своей геометрии параллельными. А два перпендикуляра к одной прямой (которые неограниченно удаляются друг от друга, как на рис. 2) Лобачевский называет расходящимися прямыми. Оказывается, что этим и ограничиваются все возможности расположения двух прямых на плоскости Лобачевского: две несовпадающие прямые либо пересекаются в одной точке, либо параллельны (рис. 6), либо являются расходящимися (в этом случае они имеют единственный общий перпендикуляр, рис. 2).

Рис. 5

Рис. 6

На рис. 7 перпендикуляр MQ к стороне OB угла AOB не пересекается со стороной OA, а прямые OB',M'Q' симметричны прямым OB,MQ относительно (OA). Далее, |OM| = |MB|, так что (MQ) – перпендикуляр к отрезку OB в его середине и аналогично (M'Q') – перпендикуляр к отрезку OB' в его середине. Эти перпендикуляры не пересекаются, и потому не существует точки, одинаково удаленной от точек O,B,B', т.е. треугольник OBB' не имеет описанной окружности.

Рис. 7

На рис. 8 изображен интересный вариант расположения трех прямых на плоскости Лобачевского: каждые две из них параллельны (только в разных направлениях). А на рис. 9 все прямые параллельны друг другу в одном направлении (пучок параллельных прямых). Красная линия на рис. 9 «перпендикулярна» всем проведенным прямым (т.е. касательная к этой линии в любой ее точке M перпендикулярна прямой, проходящей через M). Эта линия называется предельной окружностью, или орициклом. Прямые рассмотренного пучка являются как бы ее «радиусами», а «центр» предельной окружности лежит в бесконечности, поскольку «радиусы» параллельны. В то же время предельная окружность не является прямой линией, она «искривлена». И другие свойства, которыми в евклидовой геометрии обладает прямая, в геометрии Лобачевского оказываются присущими другим линиям. Например, множество точек, находящихся по одну сторону от данной прямой на данном расстоянии от нее, в геометрии Лобачевского представляет собой кривую линию (она называется эквидистантой).

Рис. 8

Рис. 9

НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ ЛОБАЧЕВСКИЙ

(1792-1856)

С 14 лет жизнь Н.И.Лобачевского была связана с Казанским университетом. Его студенческие годы приходились на благополучный период в истории университета. Было у кого учиться математике; среди профессоров выделялся М.Ф. Бартельс, сотоварищ первых шагов в математике К. Ф. Гаусса.

С 1814 г. Лобачевский преподает в университете: читает лекции по математике, физике, астрономии, заведует обсерваторией, возглавляет библиотеку. В течение нескольких лет он избирался деканом физико-математического факультета.

С 1827 г. начинается 19-летний период его непрерывного ректорства. Все надо было начинать заново: заниматься строительством, привлекать новых профессоров, менять студенческий режим. На это уходило почти все время.

Еще в первых числах февраля 1826 г. он передал в университет рукопись «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных», 11 февраля он выступил с докладом на заседании Совета университета. Собственно, речь шла не о доказательстве пятого постулата Евклида, а о построении геометрии, в которой имеет место его отрицание, т.е. о доказательстве его невыводимости из остальных аксиом. Вероятно, никто из присутствовавших не мог уследить за ходом мысли Лобачевского. Созданная комиссия из членов Совета несколько лет не давала заключения.