Энциклопедический словарь юного математика

Два целых числа, разность которых кратна данному натуральному числу m, называются сравнимыми по модулю m. (Слово «модуль» происходит от латинского modulus, что по-русски означает «мера», «величина».) Утверждение «a сравнимо с b по модулю m» обычно записывают в виде a ≡ b(mod m) и называют сравнением. Вот примеры сравнений: 5 ≡ 1(mod 2), 48 ≡ 0(mod 6), -16 ≡ 9(mod 5). Сравнение по модулю 1 выполняется для любых двух целых чисел, так как всякое число кратно 1. Два числа сравнимы по модулю 2, если они одной четности, т.е. либо оба четны, либо оба нечетны.

Определение сравнения было сформулировано в книге К. Ф. Гаусса «Арифметические исследования». Эту работу, написанную на латинском языке, начали печатать в 1797 г., но книга вышла в свет лишь в 1801 г. из-за того, что процесс книгопечатания в то время был чрезвычайно трудоемким и длительным. Первый раздел книги Гаусса так и называется: «О сравнении чисел вообще».

Сравнениями очень удобно пользоваться в тех случаях, когда достаточно знать в каких-либо исследованиях числа с точностью до кратных некоторого числа. Например, если нас интересует, на какую цифру оканчивается куб целого числа a, то нам достаточно знать a лишь с точностью до кратных числа 10, и можно пользоваться сравнениями по модулю 10.

Поскольку сравнение по модулю m есть не что иное, как «равенство с точностью до кратных m», то многие свойства сравнений напоминают свойства равенств. Так, два сравнения по одинаковому модулю можно складывать, вычитать, перемножать так же, как и равенства: если a ≡ b(mod m), c ≡ d(mod m), то a + c ≡ b + d(mod m), a - c ≡ b - d(mod m), ac ≡ bd(mod m). В частности, обе части сравнения можно умножать на целое число. Однако не всегда можно сократить обе части сравнения на какой-нибудь множитель. Например: 4 ≡ 2(mod 2), но . Известно, что если произведение двух чисел равно нулю, то нулю равен хотя бы один из сомножителей. Аналогичное свойство для сравнений в общем случае не выполняется: 2·3 ≡ 0(mod 6), но  и . Однако если a·b ≡ 0(mod m) и числа a и m взаимно просты, то b ≡ 0(mod m). В частном случае, когда модуль сравнения - простое число, из того, что произведение двух чисел сравнимо с нулем, следует, что хотя бы один из сомножителей сравним с нулем, т.е. в этом случае имеется полная аналогия с равенствами.

Поскольку два числа сравнимы по модулю m в том, и только в том, случае, если они дают при делении на m одинаковые остатки, то одним из простейших примеров использования сравнений является вывод признаков делимости. Покажем, как это делается в случае признака делимости на 3. Произвольное число n можно записать в виде n = a + 10b + 100c + ..., где a - число единиц, b - число десятков и т.д. Так как 10 ≡ 1(mod 3), то 10² ≡ 1(mod 3), 10³ ≡ 1(mod 3) и т.д. Поэтому n ≡ a + b + c + ...(mod 3). В частности, n делится на 3 в том, и только в том, случае, если сумма его цифр делится на 3.

Приведем пример одной исключительно важной конструкции, к которой приводит понятие сравнения. Произвольное целое число при делении на данное натуральное число m дает в качестве остатка одно из чисел 0,1,...,m-1. Объединим в один класс числа, дающие остаток 0 при делении на m, в другой класс - числа, которые при делении на m дают остаток 1, в следующий класс - числа, дающие остаток 2, и т.д. Все целые числа разобьются на m классов. Числа, попавшие в один класс, сравнимы по модулю m, а в разные классы - несравнимы. Получившиеся классы чисел называются классами вычетов по модулю m или просто классами по модулю m. Класс, содержащий число k, обозначают k̅. Так, по модулю 2 имеется два класса: 0̅ и 1̅; класс 0̅ состоит из всех четных чисел, а класс 1̅ - из всех нечетных чисел. У класса 0̅ есть и другие обозначения, например 2̅, 4̅, . Для классов по модулю m определены действия сложения, вычитания и умножения по формулам: , , . Приведем для примера таблицы сложения и умножения для классов по модулю 2.

  

Эти таблицы являются другой формой записи известных правил: сумма четных чисел четна, а сумма нечетного и четного чисел нечетна; произведение четного числа на любое целое число - четное число и т.д.

Классы вычетов по модулю m в случае простого модуля образуют поле.

Сравнения можно рассматривать не только для целых чисел, но и для некоторых других математических объектов. Например, для многочленов f(x), g(x), h(x) запись f(x) ≡ g(x)(mod h(x)) означает, что f(x) - g(x) делится на h(x).

СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ