Энциклопедический словарь юного математика

Следствиями неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом будут обобщения теорем 1) и 2) о максимуме произведения и минимуме суммы, на основе которых решаются многие задачи на экстремум: произведение n положительных чисел, при постоянной сумме, принимает наибольшее значение, когда все эти числа равны; сумма n положительных чисел, при постоянном произведении, принимает наименьшее значение, когда все эти числа равны. Обратим внимание, что среднее арифметическое, как и среднее квадратичное, имеет смысл не только для положительных, но и для произвольных чисел a₁,a₂,...,a_n, при этом справедливо неравенство m²≤d². В случае, например, двух слагаемых оно принимает вид

и легко следует из тождественного неравенства (a₁ - a₂)² ≥ 0. Неравенства для средних и сами средние широко применяются не только в алгебре, геометрии, математическом анализе, но и в статистике, в теории вероятностей (откуда пришло среднее квадратичное), при обработке результатов измерений.

Все рассмотренные средние являются частными случаями степенных средних: для положительных чисел a₁,a₂,...,a_n и отличного от нуля числа α степенным средним порядка α называется число

.

При α = -1,1,2 соответственно получается среднее гармоническое, среднее арифметическое и среднее квадратичное. При α = 0  A(α) не определено, однако можно показать, что при стремлении α к нулю A(α) стремится к среднему геометрическому, и потому можно считать S(0) средним геометрическим. Основное свойство степенных средних - это монотонность: S(α₁) ≤ S(α₂), если α₁ < α₂, в частности

S(-1) ≤ S(0) ≤ S(1) ≤ S(2).

Рассмотрим следующую процедуру. По двум положительным числам a и b составим их среднее арифметическое a₁ = (a + b)/2 и среднее геометрическое , затем по числам a₁ и b₁ составим их среднее арифметическое a₂ = (a₁ + b₁)/2 и среднее геометрическое . Продолжим этот процесс, определяя a_n и b_n с помощью формул:

 и .

Образуются две последовательности чисел (a_n) и (b_n). Например, если взяты числа a=1 и b=3, то первые члены последовательностей будут такие:

В приведенном примере последовательности (a_n) и (b_n) очень быстро сближаются. В общем случае, как было показано немецким математиком К. Ф. Гауссом, последовательности (a_n) и (b_n) приближаются друг к другу достаточно быстро и имеют общий предел. Предел этот называется арифметико-геометрическим средним чисел a и b. Он не выражается элементарно через a и b, однако не является и каким-то математическим курьезом, а находит многочисленные применения в ряде разделов математики.

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

Степенная функция - функция вида y=x^α, где α - заданное число, называемое показателем степени. Иногда степенной функцией называется функция несколько более общего вида y=ax^α.

Многие функциональные зависимости выражаются через степенную функцию. Например, объем куба V есть степенная функция от x (длины его ребра): V = x³; период T колебаний математического маятника пропорционален длине маятника x в степени 1/2, а именно . Если газ расширяется или сжимается без теплообмена с окружающей средой, то его давление P и объем V связаны формулой V·P^k=C (для воздуха, например, k=-1,4). Заметим, что в двух последних случаях показатель не является целым числом.

При любом показателе степени α показательная функция y=x^α определена во всяком случае на положительной полуоси. Свойства степенной функции различны в зависимости от значения показателя степени. Если α - натуральное число (α=n), то функция y = xⁿ определена на всей числовой оси, обращается в нуль при x=0, четная при четном n и нечетная при n нечетном, неограниченно возрастает при безграничном возрастании аргумента x. На рис. 1 и 2 приведены графики типичных степенных функций с целым положительным показателем: y = x³ (кубическая парабола) и y = x⁴ (парабола четвертой степени). При n = 1 степенная функция y = x является линейной функцией, при n = 2 - квадратичной функцией y=x².

Рис. 1

Рис. 2

Если α - отрицательное целое число (α = -n), то степенная функция определяется равенством y=1/xⁿ. Она определена при всех отличных от нуля x. Ее график состоит из двух частей (ветвей), имеющих асимптотами оси координат, к которым эти кривые неограниченно приближаются. Типичные представители - функции y = 1/x и y=1/x² их графики даны на рис. 3 и 4. При α = 0 по определению x⁰=1. Если α = 1/n, то функция y = x^1/n (обозначается также ) определяется как обратная функция для функции y = xⁿ. При четном n функция определена лишь для x ≥ 0, а при нечетном n - на всей оси. Графики таких функций  и  изображены на рис. 5 и 6.

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Для рационального показателя α = p/q (p/q - несократимая дробь) степенная функция определяется формулой

y = x^p/q = (x^1/q)^p.

Графики типичных степенных функций с рациональным показателем приведены на рис. 7, 8, 9.

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

СФЕРА И ШАР