Энциклопедический словарь юного математика

Про числа 25, 49, 100 говорят, что они являются квадратами. А почему? Потому что они получаются, если возвести числа 5, 7 и 10 в квадрат. Но имеет ли это название какое-нибудь отношение к геометрической фигуре - квадрату? Посмотрим на рис. 1. Солдаты стоят правильными рядами, образуя квадраты. Число солдат внутри такого квадрата легко подсчитать - нужно умножить их число вдоль горизонтальной стороны на число солдат вдоль вертикальной стороны (заметим, что эти числа равны), и получится общее количество солдат внутри квадрата.

Рис. 1

В древности вычислители часто считали с помощью камешков и, естественно, отмечали случаи, когда камешки можно было сложить в виде правильной фигуры. Кроме квадратных чисел были известны треугольные числа, которые получаются так, как это показано на рис. 2 в верхней его части. Нетрудно заметить, что n-е квадратное число равно n², а n-е треугольное число равно сумме всех целых чисел от 1 до n, т.е. n(n+1)/2 (см. Арифметическая прогрессия).

Рис. 2

Пятиугольные числа изображены на рис. 2. Чтобы сосчитать n-е пятиугольное число, его нужно разбить на три треугольных, после чего останется еще n точек, как показано на рисунке. В результате получаем, что n-е пятиугольное число равно .

Подобным образом можно образовывать любые многоугольные числа. Формула для n-го k-угольного числа такова:

.

При k=3 мы получаем треугольные числа, при k = 4 - квадратные и т.д.

Аналогично можно представить число в виде прямоугольника. Для числа 12 это можно сделать многими способами (рис. 2), а для числа 13 - лишь расположив все предметы в одну линию. Такое число древние не считали прямоугольным. Таким образом, прямоугольными числами являются все составные числа, а непрямоугольными - простые числа.

К фигурным числам также относятся пирамидальные числа, которые получаются, если шарики складывать пирамидой, как раньше складывали ядра около пушки. Нетрудно заметить, что n-е пирамидальное число равно сумме всех треугольных чисел - от первого до n-го. Формула для вычисления n-го пирамидального числа имеет вид

n_n=n(n+1)(n+2)/6.

ФОРМУЛА

Формула комбинация математических знаков и букв, выражающая какое-либо предложение.

Например, формула синуса тройного угла (см. Угол), выражающая его через синус простого угла:

sin 3α = 3 sin α - 4 sin³α.

Известно много формул, связывающих между собой элементы треугольника (a, b, c - длины сторон, r и R - радиусы вписанной и описанной окружностей). Вот одна из них:

1/ab+ 1/bc + 1/ca = 1/2Rr.

Как правило, термин «формула» употребляют по отношению к комбинациям знаков и букв, которые:

состоят из двух частей, соединенных знаком равенства;

выражают истинное при определенных условиях утверждение;

позволяют выразить некоторую величину через другие.

Особое значение термин «формула» приобретает в математической логике, где он применяется по отношению к выражениям формального языка, построенным по определенным правилам.

ФУНКЦИЯ

Функция - это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.

Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика и т.д. - имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов.

В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел. Математика рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлеченном виде, изучает различные законы их взаимосвязи, которые на математическом языке называются функциональными зависимостями, или функциями.

Например, в соотношении y=x² геометр или геодезист увидит зависимость площади y квадрата от величины x его стороны, а физик, авиаконструктор или кораблестроитель может усмотреть в нем зависимость силы y сопротивления воздуха или воды от скорости x движения. Математика же изучает зависимость y=x² и ее свойства в отвлеченном виде. Она устанавливает, например, что при зависимости y=x² увеличение x в 2 раза приводит к четырехкратному увеличению y. И где бы конкретно ни появилась эта зависимость, сделанное абстрактное математическое заключение можно применять в конкретной ситуации к любым конкретным объектам.

«Поворотный пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика.» Ф. Энгельс

Понятие функции для математики и ее приложений, связанных с изучением переменных величин, столь же фундаментально, как понятие числа при изучении количественных соотношений реального мира.

Математическое описание понятия функциональной зависимости или функции состоит в следующем.