Энциклопедический словарь юного математика

Пусть X и Y - какие-то множества. Говорят, что имеется функция, определенная на множестве X со значениями в множестве Y, если в силу некоторого закона f каждому элементу x ∈ X соответствует определенный элемент y ∈ Y.

В этом случае множество X называется областью определения функции; символ x его общего элемента - аргументом функции или независимой переменной; соответствующий конкретному значению x₀ ∈ X аргумента x элемент y₀ ∈ Y называют значением функции на элементе x₀ или значением функции при значении аргумента x = x₀ и обозначают через f(x₀). При изменении значений аргумента значения y = f(x) ∈ Y, вообще говоря, меняются (в зависимости от значения x). По этой причине величину y=f(x) часто называют зависимой переменной.

Совокупность всех значений, которые функция принимает на элементах множества X, называют множеством значений функции и иногда обозначают через f(X). В частности, если это множество состоит только из одного элемента y ∈ Y, то функция называется постоянной на множестве X.

Например, авиапассажиры сидят в креслах салона пассажирского авиалайнера. Пусть X - множество пассажиров, а Y - множество кресел салона. Тогда возникает естественное соответствие f: каждому пассажиру x ∈ X сопоставляется то кресло y=f(x), в котором он сидит. Мы имеем здесь, таким образом, простой пример функции, областью определения которой является множество X пассажиров, а областью значений - множество f(X) занимаемых ими кресел. Если заполнены не все кресла Y, то множество значений функции будет подмножеством Y, не совпадающим со всем множеством Y.

Если в кресле y₀ находятся два пассажира  и x"₀ (например, мать и ребенок), то это никак не противоречит определению функции f, которая и , и x"₀ однозначно ставит в соответствие кресло y₀. Правда, такая функция принимает одно и то же значение y₀ при разных значениях , x"₀ аргумента, подобно тому как числовая функция y = f(x) = x² принимает одно и то же значение 9 при x = -3 и x = +3.

«Весь анализ бесконечных вращается вокруг переменных величии и их функций». Л. Эйлер

Если, однако, какой-то пассажир x₀ ухитрится сесть сразу в два кресла y'₀, y"₀, то нарушится принцип однозначной определенности значений функции, поэтому такая ситуация не является функциональной в смысле данного выше определения функции, поскольку требуется, чтобы каждому значению x аргумента соответствовало одно определенное значение y=f(x) функции.

В зависимости от природы множеств X, Y термин «функция» в различных отделах математики имеет ряд полезных синонимов: соответствие, отображение, преобразование, оператор, функционал и т.д. Отображение - наиболее распространенный из них.

Для функции (отображения) приняты следующие обозначения: f : X → Y и . Если из контекста ясно, каковы область определения и область значений функции, то используют также обозначения x → f(x) или y=f(x), а иногда обозначают функцию вообще одним лишь символом f. Вместо стандартной тройки (X,f,Y) для обозначения функции можно, разумеется, использовать и любые иные буквы, например рассматривать отображения φ : A → B, Ψ : U → Y и т.д.

Когда функцию f : X → Y называют отображением, значение f(x) ∈ Y, которое она принимает на элементе x ∈ X, обычно называют образом элемента x. Образом множества A ⊂ X при отображении f : X → Y называют множество f(A) тех элементов Y, которые являются образами элементов множества A.

Рассмотрим еще несколько примеров, поясняющих понятие функции. В них употребляются названные синонимы и введенная терминология.

Формулы S = x² и V = x³ устанавливают функциональную зависимость площади S квадрата и объема V куба от длины x стороны квадрата и ребра куба соответственно. При такой интерпретации каждая из этих формул задает свою функцию f : 𝑹₊ → 𝑹₊, определенную на множестве 𝑹₊ положительных чисел со значениями, лежащими в том же множестве 𝑹₊.

Здесь и область определения и область значений функции являются числовыми множествами. Такие функции обычно называют числовыми. Числовые функции являются основным, но далеко не единственным видом функций.

Пусть A - множество всевозможных квадратов. Каждый квадрат a ∈ A имеет сторону вполне определенной длины l(a). Соответствие a → l(a) порождает, таким образом, действительнозначную функцию f : A → 𝑹₊, определенную на множестве A квадратов и принимающую значения в множестве 𝑹₊ положительных чисел.

ВЛАДИМИР АНДРЕЕВИЧ СТЕКЛОВ

(1864-1926)

В. Л. Стеклов - русский советский математик, видный организатор советской науки.

В трудные для нашей страны годы гражданской войны академик В. А. Стеклов был избран вице-президентом Академии наук (1919). Он взял на себя громадный труд по административно-хозяйственной и организационно-научной деятельности.