Энциклопедический словарь юного математика

С композицией отображений можно столкнуться как в геометрии, рассматривая последовательно выполняемые движения плоскости или пространства, так и в алгебре при исследовании «сложных» функций, полученных композицией простейших элементарных функций. Так, функцию h(x) = sin (x²) можно рассматривать как композицию функций y = f(x) = x² и g(y) = sin y.

Операцию композиции часто приходится проводить несколько раз подряд, и в связи с этим полезно отметить, что она ассоциативна, т.е. h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f. Это обстоятельство, как и в случае сложения или умножения нескольких чисел, позволяет опускать скобки, предписывающие порядок действий. Например, пусть y₁ = f₁(x) = x² - 1, y₂ = f₂(y₁) = √y₁, y₃ = f₃(y₂) = cos y₂, y₄ = f₄(y₃) = 2y₃. Тогда .

Если в композиции f_n ∘...∘ f₁ все члены одинаковы и равны f, то часто ее обозначают коротко через fⁿ.

Известно, что корень квадратный из положительного числа a можно вычислить последовательными приближениями по формуле

x_n+1 = (x_n + a/x_n)/2,

начиная с любого начального приближения x₀ > 0. Это не что иное, как последовательное вычисление fⁿ(x₀), где

f(x) = (x + a/x)/2.

Такая процедура, когда вычисленное на предыдущем шаге значение функции на следующем шаге становится ее же аргументом, называется итерационным процессом. Итерационные процессы очень широко применяются в вычислительной математике.

Отметим также, что даже в том случае, когда обе композиции g ∘ f и f ∘ g определены, вообще говоря, g ∘ f ≠ f ∘ g.

Возьмем, например, двухэлементное множество {a;b} и постоянные функции f : {a;b} → a, g : {a;b} → b. Тогда g ∘ f : {a;b} → b, в то время как f ∘ g : {a;b} → b.

Отображение I:X → X, сопоставляющее каждому элементу множества X его самого (т.е. I(x) = x), называется тождественным отображением множества X.

Отображения (функции) f : X → Y и g : Y → X называются взаимно-обратными, если g ∘ f = I_X и f ∘ g = I_Y.

Иными словами, если элемент x ∈ X под действием f перешел в элемент y = f(x) ∈ Y, то под действием обратного отображения g этот элемент y=f(x) будет возвращен именно в x ∈ X, так же как элемент x = g(y) под действием f будет отправлен в элемент y, из которого он получился при отображении g.

Обратное к f отображение g обычно обозначают символом f^-1. Таким образом, если f и g взаимно-обратные отображения, то можно записать, что g = f^-1 и f = g^-1.

Примерами пар функций, взаимно-обратных на соответствующих числовых множествах X ⊂ R и Y ⊂ R, могут служить следующие пары элементарных функций:

y = xⁿ при x ≥ 0 и  при y ≥ 0;

y = 10^x при x ∈ R и x = lg y при y > 0;

y = sin x при x ∈ [-π/2, π/2] и

x = arcsin y при y ∈ [-1,1].

О наиболее часто встречающихся функциях вы прочитаете в статьях Элементарные функции, Линейная функция, Квадратный трехчлен, Степенная функция, Дробно-линейная функция, Показательная функция, Логарифмическая функция, Тригонометрические функции, Гиперболические функции.

Д-Ф: ЗАДАЧИ

Задача 6. Шифр устроен следующим образом: каждой цифре сопоставлено по три буквы (см. табл.), а знаку * две буквы и пробел.

Таблица.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 *

а г ж й м п т х ш ы ю

б д з к н р у ц щ ь я

в е и л о с ф ч ъ э

Попробуйте расшифровать следующую запись:

5343934*150413*6*414724144414*8156215044414*305041080.

Задача 7. Две девочки играют в такую игру: они по очереди отрывают лепестки у ромашки. За один ход можно оторвать либо один лепесток, либо два соседних (с самого края). Выигрывает девочка, сорвавшая последний лепесток. Докажите, что вторая девочка всегда может выиграть (у ромашки больше двух лепестков).

ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ

Цепная линия - одна из тех плоских кривых, которые мы повседневно наблюдаем, возможно не задумываясь об их форме. Свое название цепная линия получила из-за того, что любая цепочка или любая гибкая тяжелая нерастяжимая струна, закрепленная на концах, является частью цепной линии, как, например, провод электропередачи.

Для записи уравнения цепной линии в качестве оси ординат выбирают ее ось симметрии. Тогда при соответствующем выборе оси абсцисс (рис. 1) уравнение цепной линии примет вид

y = a(e^x/a + e^-x/a)/2.

Рис. 1

Эта функция выражается через одну из элементарных функций, а именно y = a ch(x/a).