Энциклопедический словарь юного математика

Машины, принадлежащие к одной системе, имеют программную и в значительной мере аппаратную совместимость снизу вверх. Программная совместимость снизу вверх означает, что любая программа, выполнявшаяся на младшей машине, должна без всяких переделок выполняться на старшей, при этом, разумеется, результаты расчета должны быть одними и теми же.

Широкое распространение получили также семейства малых ЭВМ (СМ ЭВМ) с быстродействием до 3·10⁶ операций в 1 с и емкостью ОЗУ до 1,5·10⁷ бит. ЕС ЭВМ – универсального назначения; основные области применения СМ ЭВМ – автоматизация технологических объектов и процессов, научных экспериментов и испытательных установок, проектно-конструкторских работ.

ЕС ЭВМ и СМ ЭВМ производятся в СССР и в других странах социалистического содружества.

В последнее время все более распространенным стал термин персональная ЭВМ (ПЭВМ), или персональный компьютер. ПЭВМ – это небольшая по размерам машина, которой пользуются и в быту, и в научной, инженерной, управленческой, редакционно-издательской и других областях деятельности. ПЭВМ относятся, как правило, к микро-ЭВМ, так как создаются на базе микропроцессора, т.е. на основе одной или нескольких больших интегральных схем.

При необходимости ПЭВМ могут быть соединены между собой или подсоединены к более мощным машинам, образуя так называемую вычислительную сеть. Например, типовое оборудование школьного кабинета информатики состоит из рабочего места преподавателя и 8-15 рабочих мест учащихся. На каждом из них установлены видеомонитор и ПЭВМ. Обычно она размещается в одном блоке с клавиатурой. Кроме этого на рабочем месте преподавателя установлены: печатающее устройство, память на магнитных дисках, графопостроитель, другие устройства. Линии связи обеспечивают передачу данных между рабочими местами преподавателя и ученика.

Современные ПЭВМ имеют быстродействие порядка 10⁶ операций в секунду и ОЗУ емкостью 10⁷ - 10⁸ бит. Типичными примерами отечественных ПЭВМ могут служить машины: «Агат», «Корвет», ДВК-3 и ДВК-4, ЕС-1840 и ЕС-1841.

ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД

Гармонический ряд – числовой ряд

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n + ....

Называется он так потому, что каждый член гармонического ряда, начиная со второго, равен среднему гармоническому двух соседних (см. Средние значения). Члены гармонического ряда с возрастанием номера убывают и стремятся к нулю, однако частичные суммы S_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n неограниченно возрастают. Чтобы в этом убедиться, достаточно заметить, что

S₁ = 1, S₂ = 1 + 1/2,

S₄ = S₂ + (1/3 + 1/4) > S₂ + (1/4 + 1/4) = 1 + 1/2,

S₈ = S₄ + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) > S₄ + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) = 1 + 3/2.

Продолжая эти рассуждения, приходим к выводу, что сумма 2^k членов гармонического ряда больше, чем 1 + 2/k. Отсюда следует, что частичные суммы гармонического ряда неограниченно возрастают, т.е. гармонический ряд является расходящимся (см. Ряд). Однако этот рост идет очень медленно. Л. Эйлер, изучавший свойства гармонического ряда, нашел, что

S₁₀₀₀ ≈ 7,48, а S_1000000 ≈ 14,39.

Более того, Эйлер установил замечательную зависимость для частичных сумм гармонического ряда, показав, что существует предел разности S_n - ln n, т.е. .

Число C в его честь называется постоянной Эйлера, она приближенно равна 0,5772 (сам Эйлер, исходя из других соображений, вычислил C с точностью до 15 знаков).

Представим себе «лесенку», сложенную из n одинаковых кирпичей, следующим образом: второй кирпич подложен под первый так, что центр тяжести первого приходится на правый край второго, затем под эти два кирпича подложен третий так, что общий центр тяжести первых двух приходится на правый край третьего и т.д. (рис. 1). У такой «лесенки» центр тяжести проецируется в точку A, следовательно, «лесенка» не упадет. Если длина кирпича l, то 1-й окажется сдвинутым относительно 2-го на l/2, 2-й окажется сдвинутым относительно 3-го на l/4, (k+1)-й относительно k-го на l/2k, и вся «лесенка» будет сдвинута вправо на

Δ_n = l/2(1 + 1/2 + 1/3 +...+ 1/(n-1)).

Рис. 1

Выражение в скобках есть частичная сумма S_n-1 гармонического ряда. Следовательно, указанным способом можно сложить «лесенку», сдвинутую сколь угодно далеко вправо. Однако, как было замечено, Δ_n растет очень медленно. Например, если сложить 1000 кирпичей, то Δ₁₀₀₀ составит всего лишь 3,8 длины кирпича.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ