Энциклопедический словарь юного математика

Самая простая и, вероятно, самая древняя геометрическая задача на экстремум такая: какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь? Решение ее было известно древнегреческой математике. Оно изложено в VI книге «Начал» Евклида (см. Евклид и его «Начала»), где доказывается, что если рассмотреть прямоугольник и квадрат одного и того же периметра, то площадь квадрата будет больше. Доказательство очень простое, оно основано на сравнении площадей (рис. 1). Площадь прямоугольника равна S₀ + S₁, а площадь квадрата S₀ + S₂ и S₁ < S₂, если x < a. Таким образом, мы получаем, что из всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат. В решении Евклида, во-первых, указан ответ (квадрат) и, во-вторых, доказано, что по площади он превосходит все другие возможные фигуры (прямоугольники данного периметра). Именно так понимается в математике решение задачи на экстремум: дать ответ и доказать его экстремальное свойство.

Рис. 1

Рассмотренная задача относится к широкому классу геометрических задач на экстремум так называемым изопериметрическим задачам, в которых фигура с экстремальным свойством отыскивается среди других с равным периметром. Изопериметрические задачи рассматривались древнегреческим математиком Зенодором, жившим во ІI-I вв. до н.э. Ему приписывают, например, доказательство следующих утверждений:

из всех многоугольников с равным периметром и равным числом сторон наибольшую площадь имеет правильный многоугольник;

из двух правильных многоугольников с равным периметром большую площадь имеет тот, у которого число углов больше.

Зенодор также формулирует изопериметрическое свойство круга: из всех плоских фигур с равным периметром наибольшую площадь имеет круг, но полным доказательством этого свойства греческая математика не располагала. Строгое доказательство было дано только в XIX в.

Изопериметрические задачи объединяют также еще одним названием - «задачи Дидоны».

Они названы так по имени легендарной основательницы города Карфагена и его первой царицы. Согласно легенде, вынужденная бежать из своего родного города, Дидона вместе со своими спутниками прибыла на северный берег Африки и хотела приобрести у местных жителей землю для нового поселения. Ей согласились уступить участок земли, однако не больше, чем объемлет воловья шкура. Хитроумная Дидона разрезала воловью шкуру на узкие ремешки и, разложив их, сумела ограничить гораздо большую площадь по сравнению с той, которую можно было покрыть одной воловьей шкурой.

Если учесть, что Дидона выбирала участок, примыкающий к берегу моря, то математическую задачу, с которой она столкнулась, можно сформулировать так: какой формы должна быть кривая длины l, чтобы площадь фигуры, ограниченная этой кривой и заданной линией Г, была наибольшей? (Рис. 2.)

Рис. 2

В некоторых частных случаях задача Дидоны имеет простое решение. Например, если береговая линия есть прямая и ограничиваемый участок прямоугольной формы (рис. 3), то наибольшую площадь будет иметь прямоугольник с длинами сторон l/4 и l/2, примыкающий большей стороной к береговой линии. Решать задачу можно, используя, например, свойства квадратного трехчлена.

Рис. 3

В общем случае, когда береговая линия – кривая Г – произвольной формы, задача Дидоны очень сложна и решается с привлечением понятий и методов математического анализа (см. Дифференциальное исчисление). Решение ее относится к специальному разделу высшей математики, так называемому вариационному исчислению.

Заметим, что в математическом анализе разработаны очень сильные общие способы решения задач на экстремум (нахождение экстремумов функций). Геометрические задачи на экстремум могут быть сведены к алгебраическим и также решены методами математического анализа. Однако иногда эти задачи удается решить элементарными методами, при этом решения бывают весьма изящны и поучительны.

Одним из сильных методов решения геометрических задач на экстремум является применение неравенств, в частности неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом (см. Средние значения). Для примера рассмотрим такую задачу: каких размеров должен быть ящик (прямоугольный параллелепипед), чтобы при заданной площади поверхности его объем был наибольшим? Пусть a,b,c - длины трех ребер (рис. 4), S - площадь полной поверхности, V - объем. Очевидно, что S = 2(ab+bc+ac), а V = abc. Если заметить, что сумма трех величин ab,bc,ac равна S/2, а их произведение равно V², и применить неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, то будем иметь:

, т.е.

V^2/3 ≤ S/6 или V ≤ (S/6)^3/2.

Рис. 4

Как следует из теоремы о среднем, знак равенства достигается лишь в случае ab = bc = ac, т. е. при a = b = c, и при этом значение объема V принимает наибольшее возможное значение. Отсюда заключаем, что среди всех ящиков с заданной площадью полной поверхности наибольший объем имеет ящик кубической формы.