Энциклопедический словарь юного математика

Назовем еще метод симметрии, эффективный при решении некоторых геометрических задач на экстремум. Суть его применения станет ясна, если мы рассмотрим такую простую задачу: на прямой a требуется найти такую точку M, чтобы сумма расстояний от нее до точек A и B, лежащих по одну сторону от прямой, имела наименьшее возможное значение (рис. 5).

Рис. 5

Пусть точка A' симметрична точке A относительно прямой a, а точка M - точка пересечения прямых A'B и a. Точка M и будет искомой. Действительно,

|AM| + |MB| = |A'M| + |MB| = |A'B|.

Для любой другой точки P прямой a справедливо неравенство:

|AP|+|PB|=|A'P|+|PB|>|A'B|

(последнее следует из того, что ломаная длиннее отрезка, соединяющего ее концы).

Решение этой задачи приписывают Герону Александрийскому, жившему в I в. Решал он, правда, физическую задачу: если в точке A находится источник света, а в точке B - глаз, то в какой точке M отразится от плоского зеркала выходящий из точки A световой луч, если известно, что угол падения равен углу отражения? (Последний факт был известен задолго до Герона Александрийского).

Как легко заметить, построенная выше точка M как раз такова, что угол между прямыми AM и a равен углу между прямыми MB и a, т.е. точка M и будет точкой отражения светового луча.

Из решения этой задачи Герон сделал такой вывод: отражаемый луч света выбирает кратчайший возможный путь между источником света и глазом. Заметим, что это один из первых примеров в истории науки, когда при описании физического явления использовался «принцип минимума», согласно которому природа всегда стремится избрать наиболее экономный способ.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ

Построения с помощью циркуля и линейки. Назначение циркуля и линейки известно всем школьникам: линейкой проводят прямые (точнее, отрезки), а циркулем – окружности, им откладывают и отрезки заданных длин (правда, для этого в наши дни чаще используют его разновидность – измеритель).

В школе изучают ряд простейших построений циркулем и линейкой (односторонней, без делений): построение прямой, проходящей через заданную точку и перпендикулярной или параллельной данной прямой, деление отрезка на несколько равных частей, деление пополам заданного угла.

А вот пример уже более сложной задачи: «Построить треугольник по высоте, биссектрисе и медиане, выходящим из одной его вершины».

Как нетрудно убедиться, построение возможно лишь в том случае, если длины высоты h, биссектрисы b и медианы m либо одинаковы, либо удовлетворяют соотношению h < b < m; в противном случае искомого треугольника не существует.

Если провести на плоскости произвольную прямую l и восставить из некоторой ее точки H перпендикуляр к этой прямой, а затем отложить на нем отрезок AH длины h, то можно считать, что точка A - одна из вершин искомого треугольника, а прямая l будет содержать его основание. Отметив точки K и M пересечения прямой l с окружностями радиусов b и m, центры которых находятся в точке A (рис. 1), и проведя их радиусы AK и AM, находят биссектрису и медиану нашего треугольника. (Заметим, что биссектриса всегда лежит между медианой и высотой.)

Рис. 1

Дальнейшее построение основано на довольно простом, но редко отмечаемом факте: биссектриса угла треугольника и серединный перпендикуляр к стороне, противолежащей этому углу, пересекаются в точке D, лежащей на окружности, описанной вокруг рассматриваемого треугольника, поскольку оба они делят пополам дугу этой окружности, стягиваемую указанной стороной (хордой) и не содержащую вершины A (рис. 2).

Рис. 2

Окончательное построение теперь уже просто. Через точку M проводят перпендикуляр к прямой l и продолжают биссектрису AK до пересечения с ним в точке D (рис. 3). Итак, точки A и D лежат на окружности, описанной вокруг искомого треугольника, а ее центр O, очевидно, находится на серединном перпендикуляре к хорде BC и на серединном перпендикуляре к отрезку AD, являющемуся также одной из ее хорд. Построив точку O как точку пересечения указанных срединных перпендикуляров, можно провести окружность, описанную вокруг искомого треугольника, поскольку известны центр O и радиус OA. Точки пересечения этой окружности с прямой l являются недостающими вершинами B и C искомого треугольника. Остается лишь соединить концы отрезка BC с точкой A.

Рис. 3

Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции. Одна из труднейших задач на построение, которую уже тогда умели выполнять, - построение окружности, касающейся трех данных окружностей. Эта задача называется задачей Аполлония – по имени греческого геометра Аполлония из Перги (ок. 200 г. до н.э.).