Энциклопедический словарь юного математика

Решение. Пусть s₁ и s₂ - осевые симметрии, оси которых (прямые l₁ и l₂) пересекаются в точке O. Так как оба движения s₁,s₂ меняют ориентацию, то их композиция s₂ ∘ s₁ (сначала выполняется s₁, затем s₂) является движением, сохраняющим ориентацию. По теореме Шаля, s₂ ∘ s₁ есть либо параллельный перенос, либо поворот. Но так как при каждом движении s₁,s₂ точка O неподвижна, то и при их композиции точка O остается на месте. Следовательно, s₂ ∘ s₁ есть поворот вокруг точки O. Как найти угол поворота, понятно из рис. 9: если φ - угол между прямыми l₁ и l₂, то (поскольку точка A ∈ l₁ переводится движением s₁ в себя, а движением s₂ - в симметричную относительно l₂ точку B) движение s₂ ∘ s₁, переводящее A в B, представляет собой поворот (вокруг точки O) на угол 2φ.

Рис. 9

Следующую по важности группу геометрических преобразований плоскости составляют преобразования подобия. Наиболее простое из них – гомотетия. Напомним, что гомотетией с центром O и коэффициентом k ≠ 0 называется геометрическое преобразование, которое произвольно взятую точку A переводит в такую точку A', что  (рис. 10). Гомотетия переводит каждую прямую в параллельную ей прямую, каждую окружность снова переводит в окружность. Гомотетия сохраняет углы, а все длины увеличивает в |k| раз: если при гомотетии точки A,B переходят в A'B', то |A'B'| = |k|·|AB|. Из этого вытекает, что гомотетия сохраняет форму (но не размеры) фигур; если, например, k > 1, то фигура F', в которую переходит фигура F при гомотетии с центром O и коэффициентом k, представляет собой увеличенную копию фигуры F (рис. 10), а если 0 < k < 1 - уменьшенную копию.

Рис. 10

Поскольку при гомотетии все длины изменяются в одинаковое число раз, отношение длин не меняется. На этом основаны различные способы оценки расстояний; например, зная длину руки и длину большого пальца и прикинув, сколько раз большой палец вытянутой руки укладывается в видимом образе предмета, можно найти отношение высоты вертикального предмета к расстоянию до него (на рис. 11 имеем |AB| : |BO| = |A'B'| : |B'O|, откуда, измерив |BO|, можно найти |AB|, а потому и высоту трубы, которая примерно втрое больше |AB|).

Рис. 11

Задача 5. Построить квадрат, вписанный в данный сектор (две вершины квадрата лежат на одном радиусе, третья – на другом, четвертая – на дуге сектора).

Решение. Пусть ABCD и A₁B₁C₁D₁ (рис. 12) – два квадрата, вписанные в угол MON. При гомотетии с центром O, переводящей точку B в B₁, (коэффициент этой гомотетии равен k = |OB₁|/|OB|), отрезок AB переходит в отрезок A₁B₁, а потому квадрат ABCD переходит в квадрат A₁B₁C₁D₁ (поскольку углы, а также отношение отрезков сохраняются). Из этого вытекает, что вершины C и C₁, лежат на одном луче, исходящем из точки O. Теперь ясно, что, построив какой-нибудь квадрат ABCD, вписанный в угол MON, и проведя луч OC, мы сможем найти вершину C' искомого квадрата (т.е. точку пересечения луча OC с дугой MN сектора), а затем достроить искомый квадрат (рис. 13).

Рис. 12

Рис. 13

Преобразование f плоскости α называется подобием с коэффициентом k>0, если для любых точек A,B плоскости α расстояние между точками f(A) и f(B) равно k·|AB|. Любое подобие (как и гомотетия – частный случай подобия) сохраняет углы, а также отношение длин, т.е. сохраняет форму фигур. Однако, в отличие от гомотетии, подобие может переводить прямую l в прямую l', не параллельную ей.

На рис. 14 изображены два плана P и P₁, одного и того же участка местности, выполненные в разных масштабах и по-разному лежащие на плоскости. Эти планы представляют собой подобные, но не гомотетичные фигуры; например, прямая AB и соответствующая ей прямая A₁B₁ не параллельны. Чтобы получить план P₁, исходя из плана P, можно поступить так: сначала повернуть план P, чтобы его стороны стали параллельными сторонам плана P₁, а затем применить гомотетию. Иначе говоря, план P₁, подобный P, получается из P при помощи композиции движения (поворота) и гомотетии.

Рис. 14

Указанное обстоятельство является общим, т.е. всякое подобие g представляется в виде композиции h ∘ f, где f - движение, а h - гомотетия. Из этого ясно, что при решении задач методом подобия можно ограничиваться лишь рассмотрением гомотетии (сопровождаемой некоторым движением). Это имеет определенные удобства: вспомните, с каким напряженным вниманием отыскиваются соответственные стороны по-разному расположенных подобных треугольников при выписывании равенства отношений сторон (и с какой легкостью выписываются эти отношения для гомотетичных треугольников).

Задача 6. Стороны треугольника ABC связаны соотношением a² = c(b+c). Доказать, что угол A вдвое больше угла C.