Энциклопедический словарь юного математика

Решение. Пусть D - такая точка прямой AB, что |AD| = b, причем A лежит между B и D (рис. 15). Тогда треугольник ACD - равнобедренный, и потому ∠1 = ∠2; кроме того, |BD| = b + c. При симметрии относительно биссектрисы угла B точки A и C перейдут в такие точки A' и C', что |BA'| = |BA| = c, |BC'| = |BC| = a; кроме того ∠3 = ∠4. Равенство a² = c(b+c) можно переписать в виде

(b + c)/a = a/c, т.е. |BD|/|BC| = |BC'|/|BA'|,

откуда следует, что при гомотетии с центром B и коэффициентом k = |BD|/|BC'| точки D,C переходят в C',A'. Следовательно DC||C'A' и потому ∠2 = ∠4, т.е. ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4. Так как BAC - внешний угол треугольника ACD, то он равен сумме углов ∠1  и ∠2 , т.е. равен удвоенному углу C.

Рис. 15

В заключение рассказа о преобразованиях подобия заметим, что они составляют группу преобразований и потому (см. Геометрия) согласно Эрлангенской программе определяют «свою» геометрию. Инвариантами этой группы (т.е. теми свойствами, которые сохраняются при всех преобразованиях подобия и изучаются в геометрии подобий) являются угол, отношение длин двух отрезков, параллельность двух прямых и т.д. Хотя длина отрезка уже не сохраняется, но в силу сохранения отношения длин в геометрии подобий можно говорить о равнобедренном треугольнике (т.е. о треугольнике, в котором отношение длин боковых сторон равно 1). Теорема о том, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, сохраняется и в геометрии подобий. Сохраняется также теорема Пифагора (в форме (a/c)² + (b/c)² = 1, где a/c и b/c - отношения длин катетов к длине гипотенузы) и т.п.

Однако не следует думать, что геометрия подобий ничем, кроме формы изложения, не отличается от евклидовой геометрии. Существуют факты, которые отличают эти две геометрии. Например, условимся говорить, что линия L может скользить но себе, если для любых двух точек A,B этой линии найдется преобразование f (принадлежащее группе, задающей рассматриваемую геометрию), которое переводит линию L в себя, а точку A - в B. В геометрии Евклида (т.е. в геометрии, определяемой группой движений плоскости) существуют только два типа связных линий (т.е. состоящих из одного куска), которые могут скользить по себе: прямые и окружности. А в геометрии подобий существуют линии, отличные от прямых и окружностей, которые могут скользить по себе; это – логарифмические спирали, определяемые в полярных координатах уравнением ρ = ρ₀e^kφ (рис. 16).

Рис. 16

Еще один необычный факт геометрии подобий мы получим, рассматривая преобразование g = h ∘ r, где r - поворот вокруг точки O на угол φ₀, а h - гомотетия с центром O и коэффициентом k₀ > 0. Пусть ..., A_-2,A_-1,A₀,A₁,A₂... - последовательность точек, переходящих друг в друга при преобразовании g, т.е. g(A_i) = A_i+1 при любом целом i (рис. 17). Эти точки лежат на одной логарифмической спирали, причем для любого целого i угол A_iOA_i+1 имеет одну и ту же величину φ₀. Последовательно соединяя эти точки, мы получим бесконечную ломаную линию ..., A_-2,A_-1,A₀,A₁,A₂..., которая переводится преобразованием g в себя, причем каждая вершина A_i переводится в соседнюю вершину A_i+1.

Рис. 17