Энциклопедический словарь юного математика

Заметим, что рассмотренное преобразование подобия g = h ∘ r (его называют поворотным растяжением) имеет тесную связь с комплексными числами. Комплексное число z = x + iy можно представить в виде направленного отрезка, идущего из начала координат в точку (x;y). При таком геометрическом изображении комплексные числа складываются как векторы (рис. 18). А для получения геометрической интерпретации умножения комплексных чисел удобно поворотное растяжение g = h ∘ r, рассмотренное выше. Именно, пусть z = x + iy - некоторое комплексное число, ρ - его модуль (т.е. длина изображающего отрезка), а φ - аргумент (т.е. угол наклона изображающего направленного отрезка к положительной части оси абсцисс). Число z получается из числа 1, если, во-первых, вектор, изображающий число 1, растянуть в ρ раз, и, во-вторых, повернуть его на угол φ (рис. 19), т. е. вектор z получается из вектора 1 преобразованием g = h ∘ r = r ∘ h, где h - гомотетия с центром в начале и коэффициентом ρ, а r - поворот вокруг начала на угол φ. Итак, z = g(1). Если теперь z' = x' + iy' - другое комплексное число, то при применении преобразования g (т. е. при растяжении изображающего вектора в ρ раз и повороте его на угол φ) число z' переходит в z" (рис. 19). Можно сказать и иначе: треугольники на рис. 19 подобны. Это и дает геометрическую интерпретацию умножения комплексных чисел. Из сказанного ясно, что при умножении всех комплексных чисел на одно и то же комплексное число z вся плоскость комплексных чисел подвергается поворотному растяжению. В частности, для любых трех комплексных чисел z₀,z₁,z₂ мы имеем z₂ - z₀ = z(z₁ - z₀), где z - комплексное число, модуль которого равен отношению длин векторов z₂ - z₀ и z₁ - z₀, а аргумент равен углу между этими векторами (рис. 20).

Рис. 18

Рис. 19

Рис. 20

Задача 7. На сторонах треугольника A₁A₂A₃ построены вне его подобные между собой треугольники A₁B₁A₂, A₂B₂A₃, A₃B₃A₁. Доказать, что точка пересечения медиан ΔB₁B₂B₃ совпадает с точкой пересечения медиан ΔA₁A₂A₃.

Решение. Обозначим через a₁,a₂,a₃,b₁,b₂,b₃ комплексные числа, изображаемые векторами , , , , , . Тогда a₂ - b₁ = z(a₁ - b₁), a₃ - b₂ = z(a₂ - b₂), a₁ - b₃ = z(a₃ - b₃), где z - комплексное число, модуль которого равен отношению боковых сторон рассматриваемых подобных треугольников, а аргумент равен φ (рис. 21). Складывая эти равенства, получаем (после очевидных упрощений):

(z-1)(b₁ + b₂ + b₃) = (z-1)(a₁ + a₂ + a₃) .

Рис. 21

Так как z ≠ 1 (поскольку аргумент φ числа z отличен от нуля), то отсюда следует, что b₁ + b₂ + b₃ = a₁ + a₂ + a₃. Переходя к векторным обозначениям и деля на 3, получаем

,

а это и означает, что точки пересечения медиан ΔB₁B₂B₃ и ΔA₁A₂A₃ совпадают (см. Вектор).

Расскажем коротко и о других преобразованиях, играющих важную роль в современной геометрии. Преобразование f евклидовой плоскости называется аффинным, если оно каждую прямую переводит снова в прямую, а параллельные между собой прямые – снова в параллельные (рис. 22). Если на плоскости введена система координат, то аффинное преобразование задается линейными соотношениями, т.е. точка A'(x';y'), в которую переходит точка A(x;y), определяется формулами

,

где ad - bc ≠ 0 (и обратно: такими формулами задается некоторое аффинное преобразование). Далее, если A,B,C - три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, и A', B', C' - три другие точки, также не лежащие на одной прямой, го существует, и притом только одно, аффинное преобразование, переводящее точки A,B,C соответственно в A', B', C'. Отметим, что длины и углы могут изменяться при аффинных преобразованиях. Не сохраняется (в отличие от преобразований подобия) и отношение длин отрезков. Однако отношение длин двух параллельных отрезков сохраняется при любом аффинном преобразовании. В частности, середина отрезка переходит при аффинном преобразовании снова в середину отрезка, параллелограмм переходит в параллелограмм, медиана треугольника в медиану и т. п. Круг при аффинном преобразовании переходит в эллипс, причем из отмеченных выше свойств аффинных преобразований легко следует, что середины параллельных между собой хорд эллипса лежат на одном отрезке, проходящем через центр эллипса (рис. 23).

Рис. 22

Рис. 23