Энциклопедический словарь юного математика

Задача 4. Отец и сын наблюдали солнечное затмение, и поэтому темой их разговора были Солнце и Луна. «Папа, - спросил мальчик, - а во сколько раз Солнце дальше от нас, чем Луна?»

«Насколько я помню,- отвечал отец,- в 387 раз».

«Тогда я могу посчитать, во сколько раз объем Солнца больше объема Луны».

«Пожалуй, ты прав»,- подумав, ответил отец.

Во сколько же раз объем Солнца больше объема Луны?

Задача 5. Взяв у сестренки-первоклассницы по одной карточке с цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Гена разложил их по две на столе и вдруг увидел, что полученные числа относятся как 1:2:3:4:5. Когда вечером он захотел показать этот интересный результат отцу, то обнаружил, что отсутствует карточка с цифрой 0. Однако, подумав, он из оставшихся карточек сложил пять чисел, отношение которых вновь было 1:2:3:4:5. Как он раскладывал карточки в первый и во второй раз?

ДЕЛИМОСТЬ

Делимость – одно из основных понятий, изучаемых в теории чисел (см. Чисел теория). Говорят, что целое число a делится на целое b≠0, если частное a/b является целым, т. е. существует такое целое число c, что a = bc. Например, 54 делится на 6, так как 54 = 6·9; 273 делится на 21, так как 273 = 21·13. Из определения делимости следует, что число 0 делится на любое число, отличное от нуля.

Часто утверждение о делимости числа a на число b выражают другими равнозначными словами: a кратно b, b - делитель a или же b делит a.

Всякое целое число a делится по крайней мере на четыре числа a, -a, 1, -1. Натуральное число a называется простым, если никаких других делителей оно не имеет.

Приведем несколько свойств делимости:

а) если числа a и b делятся на c, то и числа a+b, a-b делятся на c;

б) если a делится на b и c - произвольное целое число, то ac делится на bc;

в) если a делится на b и b - на c, то a делится на c.

Зная разложения чисел a и b на простые множители, можно легко выяснить, делится ли a на b. Для того чтобы число a делилось на число b, необходимо и достаточно, чтобы каждый простой множитель, входящий в разложение числа b, входил и в разложение числа a; причем если простой множитель встречается k раз в разложении числа b, то он должен встретиться не менее k раз и в разложении числа a.

Если целые числа a и b заданы своими записями в десятичной системе счисления, то, разделив «в столбик» первое число на второе, мы найдем их частное, а значит, сможем ответить на вопрос, делится ли a на b.

Уже давно были найдены признаки делимости чисел, которые позволяют в некоторых случаях быстро установить делимость одного числа на другое, не прибегая к непосредственному делению «в столбик». Среди этих признаков практически наиболее удобны следующие (связанные с записью числа в десятичной системе):

а) для делимости на 2 нужно, чтобы последняя цифра числа делилась на 2;

б) для делимости на 3 нужно, чтобы сумма цифр числа делилась на 3;

в) для делимости на 4 нужно, чтобы число, записанное двумя последними цифрами, делилось на 4;

г) для делимости на 5 нужно, чтобы последняя цифра была 0 или 5;

д) для делимости на 8 нужно, чтобы число, записанное тремя последними цифрами, делилось на 8;

е) для делимости на 9 нужно, чтобы сумма цифр делилась на 9;

ж) для делимости на 10 нужно, чтобы последняя цифра была 0;

з) для делимости на 11 нужно, чтобы разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, делилась на 11.

Развитие идеи делимости привело к понятию сравнения, использование которого позволило перенести в теорию чисел алгебраические методы и с их помощью получить большое количество интересных результатов.

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

Диофантовыми уравнениями называют алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые или рациональные решения. При этом число неизвестных в уравнениях должно быть не менее двух (если не ограничиваться только целыми числами). Диофантовы уравнения имеют, как правило, много решений, поэтому их называют неопределенными уравнениями. Это, например, уравнения:

3x + 5y = 7;

x² + y² = z²

3x³ = 4y³ = 5z³

Названы они по имени греческого математика Диофанта, жившего в III в. Его книга «Арифметика» содержала большое количество интересных задач, ее изучали математики всех поколений. Книга сохранилась до наших дней, ее можно найти в русском переводе в библиотеке.

Задачи поиска целочисленных и рациональных решений обычно тесно связаны между собой. Легко сообразить, какая связь есть между целочисленными решениями уравнения 3x³ + 4y³ = 5z³ и рациональными решениями уравнения 3/5 u³ + 4/5 v³ ( u = x/z, v = y/z).

К диофантовым уравнениям приводят задачи, по смыслу которых неизвестные значения величин могут быть только целыми числами.