Энциклопедический словарь юного математика

Из сказанного выше ясно следующее: 1) множество R всех действительных чисел, в котором рассматривается операция сложения, является группой (и притом абелевой); 2) множество R² всех векторов на плоскости с имеющейся в нем операцией сложения является абелевой группой; 3) множество всех отличных от нуля действительных чисел, в котором рассматривается операция умножения, является абелевой группой; 4) множество всех движений плоскости, в котором рассматривается операция композиции, является группой, но не абелевой (т.е. не коммутативной).

В чем польза от введения такой «абстракции второй ступени», какой является группа? Ответ можно сформулировать так. Доказав на основе аксиом 1-4 некоторую теорему теории абелевых групп, мы сможем утверждать, что эта теорема будет справедлива и для действительных чисел, и для векторов, и для любой другой абелевой группы.

Это позволит, один раз доказав теоремы об абелевых группах, применять их в теории относительности, в кристаллографии, в ядерной физике, т.е. во всех областях, где появляются группы.

Свои первые применения понятие группы нашло в алгебре. Особенно интересной была теория, созданная французским математиком Э. Галуа.

В геометрии важную роль играют группы самосовмещений фигур. Если F - некоторая фигура на плоскости (или в пространстве), то можно рассмотреть множество G_F всех тех движений плоскости (или пространства), при которых фигура F переходит в себя. Это множество является группой (см. Геометрические преобразования). Например, для равностороннего треугольника T группа движений плоскости, переводящих треугольник в себя, состоит из 6 элементов: поворотов на углы 0,2π/3,4π/3 вокруг точки O и симметрий относительно трех прямых. Они изображены на рис. 1 красными линиями. Элементы группы самосовмещений правильного треугольника могут быть заданы и иначе. Чтобы пояснить это, пронумеруем вершины правильного треугольника T числами 1, 2, 3. Любое самосовмещение f треугольника T переводит точки 1, 2, 3 в те же самые точки, но взятые в ином порядке, т.е. f может быть условно вписано в виде одной из таких скобок:

     и т.д.   , (1)

где числами 1, 2, 3 обозначены номера тех вершин, в которые переходят вершины 1, 2, 3 в результате рассматриваемого движения.

Рис. 1

ОТТО ЮЛЬЕВИЧ ШМИДТ

(1891-1956)

О. Ю. Шмидт – замечательный советский ученый, общественный и государственный деятель. Герой Советского Союза (1937), академик (1935), вице-президент Академии наук СССР (1939-1942).

Овеянное легендой имя О. Ю. Шмидта в памяти миллионов людей навсегда связано с освоением Арктики, Северного морского пути, с челюскинской эпопеей, с высадкой на лед научно-исследовательской станции «Северный полюс-1». Однако при всей многогранности научных интересов О. Ю. Шмидт всю жизнь оставался прежде всего математиком – по образованию, по складу мышления, по глубине и продолжительности своих привязанностей.

В 1909 г. молодой Шмидт поступил на физико-математический факультет Киевского университета. Там он с увлечением изучает теорию групп – одну из самых абстрактных областей математики. Уже в студенческие годы он печатает на эту тему две научные статьи и через несколько лет начинает работу над монографией «Абстрактная теория групп», опубликованной в 1916 г. Эта книга выдержала еще два издания и на несколько десятилетий стала настольным пособием алгебраистов.

После получения диплома Шмидт был оставлен в университете для подготовки к профессорскому званию, и молодой ученый, казалось, целиком посвятил себя науке. Но революционные события разбудили в нем, по его словам, «человека воли, действия». По личному указанию В. И. Ленина О. Ю. Шмидт работал над подготовкой и реализацией ряда проектов, был членом комиссий народных комиссариатов. Он стал организатором высшего образования в стране. С 1924 по 1941 г. Отто Юльевич был главным редактором Большой советской энциклопедии.

Летом 1927 г. О. Ю. Шмидту представилась возможность совершить поездку в Геттинген – математическую столицу того времени и встретиться там с крупнейшими математиками, среди них и с Д. Гильбертом. Шмидт ознакомился с достижениями в изучаемой им области за целое десятилетие и сумел доказать замечательную теорему «о бесконечных группах с конечной цепью», ставшую классической.

Коренная перестройка основ алгебры, начавшаяся в конце 20-х гг., предъявила новые требования к преподаванию в университетах. По инициативе О. Ю. Шмидта в МГУ была организована кафедра высшей алгебры, а затем научно-исследовательский семинар по теории групп. Семинар и кафедра превратились в один из основных алгебраических центров в СССР.

30-е гг. были заполнены работой по освоению Арктики. О. Ю. Шмидт становится директором Арктического института, затем – начальником Главсевморпути. В 1932 г. экспедиция под руководством О. Ю. Шмидта на ледоколе «Сибиряков» впервые за одну навигацию прошла из Архангельска в Тихий океан. На следующий год Шмидт возглавил ставшее историческим плавание на пароходе «Челюскин» по Северному морскому пути.