Энциклопедический словарь юного математика

Мы рассказали о некоторых применениях понятия группы в различных вопросах алгебры и геометрии и упомянули о том, что в любой из областей знания, где встречаются группы, можно применять теоремы о группах (один раз доказав эти теоремы, исходя из аксиом группы). В чем же состоят эти теоремы? Рассмотрим одну из них.

Прежде всего приведем определение подгруппы. Пусть G – некоторая группа и H - подмножество множества G. Если H само является группой (относительно той операции умножения, которая имеется во всей группе G), то H называется подгруппой группы G. Например, Z (множество всех целых чисел) является подгруппой группы R всех действительных чисел с операцией сложения. И еще один пример: группа G самосовмещений орнамента на рис. 2 является подгруппой группы всех движений плоскости. Это пример так называемой кристаллографической группы. Некоторая подгруппа G' группы всех движений плоскости называется кристаллографической группой, если существует такой многоугольник M (фундаментальная область группы G'), что всевозможные многоугольники, в которые переходит M при движениях, принадлежащих группе G', заполняют всю плоскость и попарно не имеют общих внутренних точек. Для группы G фундаментальными областями являются параллелограммы, которые, будто кристаллики, заполняют плоскость (рис. 10).

Рис. 10

Кристаллографические группы можно рассматривать и в пространстве. Русский кристаллограф XIX в. Е. С. Федоров, основываясь на понятии группы, дал полное перечисление выпуклых многогранников, описывающих все формы кристаллов, которые служат фундаментальными областями кристаллографических групп в пространстве.

Вспомним теперь, как определяются вычеты по некоторому модулю m (см. Сравнения). Через H_m обозначим подмножество множества Z всех целых чисел, состоящее из чисел, делящихся на m. Два целых числа a₁ и a₂ называются имеющими одинаковые остатки при делении на m, если их разность делится на m, т.е. если (a₂ - a₁) ∈ H_m. Все числа, имеющие один и тот же остаток при делении на m, составляют один смежный класс относительно подгруппы H_m ⊂ Z. Таким образом, всего имеется m смежных классов по этой подгруппе.

Сказанное можно применить и к любой другой группе G, в которой задана некоторая подгруппа H. Два элемента a₁,a₂ группы G считаются принадлежащими одному смежному классу по подгруппе H, если их разность a₂ - a₁ (или элемент a₁^-1a₂, если групповой операцией является умножение) принадлежит подгруппе H. Тем самым вся группа G «расслаивается» на смежные классы по подгруппе H. Все смежные классы содержат одинаковое количество элементов (конечное или бесконечное) – столько же, сколько их имеется в подгруппе H. Поэтому если G - конечная группа, содержащая g элементов, то справедливо соотношение g = kh, где h - число элементов подгруппы H, а k - число смежных классов, - в этом состоит одна из простейших теорем теории групп.

Пусть, например, K - некоторый куб, G_K - группа его самосовмещений. Через H_A обозначим подгруппу группы G_K, состоящую из движений f ∈ G_K, переводящих вершину A в себя. Подгруппа H_A содержит 6 элементов: три поворота вокруг диагонали AC₁ (рис. 11) и три зеркальные симметрии (рис. 12). Два элемента g₁,g₂ ∈ G_K в том, и только том, случае принадлежат одному смежному классу по подгруппе H_A, если g₁ и g₂ переводят A в одну и ту же вершину: g₁(A) = g₂(A). Поэтому имеется всего 8 смежных классов (по числу вершин). Так как в каждом из них содержится 6 элементов (столько же, сколько в подгруппе H_A), то всего группа G_K содержит 6 · 8 = 48 элементов. Итак, существует 48 движений пространства, переводящих куб K в себя.

Рис. 11

Рис. 12

Аналогичным образом можно подсчитать число элементов в группах самосовмещений других правильных многогранников. Например, правильный икосаэдр имеет 10 самосовмещений, оставляющих неподвижной одну из его вершин (эти 10 самосовмещений образуют подгруппу группы всех самосовмещений), а всего у него имеется 12 вершин. Следовательно, группа самосовмещений правильного икосаэдра состоит из 120 элементов. Это самая большая из конечных групп движений трехмерного пространства. Заметим, что со свойствами этой группы тесно связан важный алгебраический факт – неразрешимость общего уравнения 5-й степени в радикалах.

А-Г: ЗАДАЧИ

Задача 2. На чудо-яблоне садовник вырастил 25 бананов и 30 апельсинов. Каждый день он срывает два плода и на их месте вырастает новый, причем если он срывает два одинаковых фрукта, то вырастает апельсин, а если два разных, то вырастает банан. Каким может оказаться последний фрукт на этом дереве?

Задача 3. Обычный комплект домино содержит 28 костей. Если бы количество очков на костях изменялось бы не от 0 до 6, а от 0 до 4, то количество костей было бы лишь 15. (Проверьте.) А сколько костей содержит комплект домино, количество очков у которого меняется от 0 до 12?