Энциклопедический словарь юного математика

Хроматическим числом графа называется наименьшее количество красок, с помощью которых можно так раскрасить вершины графа, что любые две вершины, соединенные ребром, окрашиваются при этом в разные цвета. Долгое время математики не могли решить такую проблему: достаточно ли четырех красок, для того чтобы раскрасить произвольную географическую карту так, чтобы любые две страны, имеющие общую границу, были окрашены разными красками? Если изобразить страны точками – вершинами графа, соединив ребрами те вершины, для которых соответствующие им страны граничат (рис. 4), то задача сведется к следующей: верно ли, что хроматическое число любого графа, расположенного на плоскости не больше четырех? Положительный ответ на этот вопрос был лишь недавно получен с помощью ЭВМ.

Рис. 4

ГРУППА

Группа – одно из основных понятий математики, применяемое в алгебре, геометрии, физике и других науках.

С точки зрения диалектической теории познания понятие группы является абстракцией второй ступени. Математические абстракции первой ступени можно назвать слепками с объектов и процессов реального мира, т.е. для них имеются «прототипы» в окружающей нас действительности. Например, человек многократно наблюдал множества, содержащие два элемента: две руки, два глаза и т.д. Постепенно, путем отвлечения от конкретных свойств элементов, входящих в эти множества, возникает новое понятие – число 2.

Математические абстракции первой ступени возникли в глубокой древности. Так, Евклид, который жил более двух тысяч лет назад, использовал уже сформированные понятия о числах и действиях над ними, о геометрических линиях, поверхностях и телах. У Архимеда мы находим представление о векторном понимании механических величин (силы, скорости) и их сложении по правилу параллелограмма.

В XIX в. в распоряжении математиков было уже несколько конкретных действий: сложение действительных чисел, умножение чисел, сложение векторов, умножение (или, лучше сказать, композиция) геометрических преобразований, умножение перестановок (т.е. преобразований конечного множества) и др. При этом оказалось, что свойства этих математических действий во многом похожи. Например, и операция сложения чисел, и сложения векторов, и умножения чисел, и композиции геометрических преобразований обладают свойством ассоциативности (сочетательности). Постепенно возникла абстракция второй ступени, т.е. абстракция уже сформировавшихся математических понятий первой ступени: математики стали отвлекаться от конкретного вида складываемых (или перемножаемых) элементов, т.е. от того, что складывается, а обращали внимание лишь на то, что в некотором множестве задано сложение и это действие обладает определенными свойствами (ассоциативности и др.). Это и привело к возникновению понятия группы.

Расскажем подробно об этом понятии. Свойства сложения действительных чисел хорошо известны:

1) a + (b+c) = (a+b) + c для любых a,b,c (ассоциативность);

2) a + b = b + a для любых a,b (коммутативность);

3) существует такое число 0, что a+0=a для любого a (существование нуля);

4) для любого a существует такое число -a, что a+(-a)=0 (существование противоположного элемента).

Точно такими же свойствами обладает сложение векторов:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Далее, операция умножения, если ее рассматривать в множестве всех отличных от нуля действительных чисел, также имеет аналогичные свойства:

1) a(bc)=(ab)c (ассоциативность);

2) ab=ba(коммутативность);

3) существует такое число 1, что a·1=a для любого a;

4) для любого a(a≠0) существует такое число a^-1, что a·a^-1=1.

А вот операция композиции движений (см. Геометрия) обладает лишь тремя из этих свойств:

1) h∘(g∘f)=(h∘g)∘f для любых движений f,g,h;

2) существует такое движение e (тождественное преобразование), что f∘e=f, e∘f=f для любого движения f;

3) для любого движения f существует обратное движение f^-1, удовлетворяющее соотношениям f∘f^-1=e, f^-1∘f=e. Коммутативность же, т.е. соотношение g∘f=f∘g для движений, вообще говоря, места не имеет.

Теперь будет понятно следующее определение: множество G, в котором задана некоторая операция, сопоставляющая двум элементам a,b из G некоторый элемент a*b того же множества G, называется группой, если выполнены следующие свойства:

I) a*(b*c)=(a*b)*c для любых a,b,c из G;

II) существует такой элемент e∈G (единица, или нейтральный элемент группы G), что a*e=a и e*a=a для любого a∈G;

III) для любого a∈G существует такой элемент a^-1∈G (обратный элемент), что a*a^-1=e, a^-1*a=e;

если, кроме того, для любых a,b из G справедливо соотношение

IV) a*b=b*a, то группа G называется коммутативной (или абелевой).