Энциклопедический словарь юного математика

Если x - длина одной из сторон прямоугольника, то при указанном условии длина другой стороны равна p-x, а площадь прямоугольника равна x(p-x). Надо найти максимальное значение функции f(x) = x(p-x) на отрезке 0≤x≤p. Поскольку при x=0 или x = p функция, очевидно, обращается в нуль (прямоугольник вырождается в отрезок), то максимум достигается при каком-то значении x, лежащем между 0 и p. Как найти это значение?

В соответствии со сделанным выше наблюдением максимум значений функции f(x) может быть лишь при том значении x₀, при котором скорость изменения функции равна нулю, т. е. f'(x₀) = 0.

Найдем, используя уже проведенные ранее вычисления, производную нашей функции. Поскольку f(x) = px - x², то f'(x) = p - 2x и f'(x₀) = p - 2x₀ = 0 при x₀ = 1/2 p. По самому смыслу задачи при найденном значении аргумента x функция должна иметь именно максимум. Это можно проверить и формально:

f'(x)>0 при x< 1/2 p и f'(x)<0 при x> 1/2 p.

Таким образом, мы нашли, что искомым прямоугольником с наибольшей площадью является квадрат, длина стороны которого равна 1/2 p.

Решение единым методом различных задач на отыскание максимальных и минимальных значений функций, или, как их принято называть в математике, задач на отыскание экстремумов, является одним из ранних и вместе с тем наиболее популярных и впечатляющих достижений математического анализа (см. Геометрические задачи на экстремум).

До сих пор, следуя И. Ньютону, в качестве главного понятия дифференциального исчисления мы выделяли производную. Г. В. Лейбниц, другой родоначальник математического анализа, в качестве исходного выбрал понятие дифференциала, которое, как мы увидим, логически равноценно понятию производной, но не совпадает с ним. Лейбниц нашел правила вычисления дифференциалов, равноценные правилам отыскания производных, и назвал развитое им исчисление дифференциальным. Это название и сохранилось. Рассмотренные выше примеры помогут нам достаточно быстро разобраться в следующих, на первый взгляд формальных, но очень важных определениях всего дифференциального исчисления.

Функция y=f(x) называется дифференцируемой при некотором значении x ее аргумента, если приращение Δf = f(x+h) - f(x) этой функции, отвечающее приращению h = (x+h) - x = Δx ее аргумента x, можно представить в виде

f(x+h) - f(x) = k(x)·h + α·h, (8)

где k(x) - коэффициент, зависящий только от x, а α - величина, стремящаяся к нулю при h, стремящемся к нулю.

Таким образом,

f(x+h)-f(x) ≈ k(x)·h,      (9)

т.е. с точностью до погрешности α·h, малой в сравнении с величиной h приращения аргумента, приращение f(x+h) - f(x) дифференцируемой в точке x функции можно заменить величиной k(x)·h, линейной относительно приращения h аргумента x.

Эта приближающая линейная по h функция k(x)·h называется дифференциалом исходной функции f в точке x и обозначается символом df или, более полно, df(x).

В каждой точке x приближающая линейная функция k(x)·h, вообще говоря, своя, что отмечено зависимостью коэффициента k(x) от x.

Поделив обе части равенства (8) на h и учитывая, что величина α стремится к нулю, когда h стремится к нулю, получаем соотношение:

,    (10)

позволяющее вычислять дифференциальный коэффициент k(x) и показывающее, что он просто-напросто совпадает со значением производной f'(x) функции f(x) в точке x.

Таким образом, если функция дифференцируема в точке x, то в этой точке существует указанный в (10) предел, т.е. в ней существует производная f'(x) и k(x) = f'(x).

ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦ

(1646-1716)

Математика не была его единственной страстью. С юных лет ему хотелось познать природу в целом, и математика должна была стать решающим средством в этом познании. Он был философом и лингвистом, историком и биологом, дипломатом и политическим деятелем, математиком и изобретателем. Научные и общественные планы Лейбница были грандиозны. Он мечтал о создании всемирной академии наук, о построении «универсальной науки». Он хотел выделить простейшие понятия, из которых по определенным правилам можно сформировать все сколь угодно сложные понятия. Лейбниц мечтал об универсальном языке, позволяющем записывать любые мысли в виде математических формул, причем логические ошибки должны проявляться в виде математических ошибок. Он думал о машине, которая выводит теоремы из аксиом, о превращении логических утверждений в арифметические (эта идея была воплощена в жизнь в нашем веке).