Энциклопедический словарь юного математика

На физическом языке, когда f'(x) интерпретируется как скорость в момент x, а f(x+h) - f(x) - как путь, пройденный за промежуток времени h, протекший от момента x, приближенное равенство f(x+h) - f(x) ≈ f'(x)·h означает, что за малое время h скорость мало меняется, поэтому пройденный путь приближенно можно найти, как и в (1), по формуле f'(x)·h, выражающей равномерное прямолинейное движение с постоянной скоростью f'(x).

Равенство (11) и вытекающее из него путем переобозначений соотношение

f(x) ≈ f(x₀) + f'(x₀)·(x-x₀)    (12)

позволяют приближенно находить значения функции f(x) в точках x, близких к некоторой точке x₀, в которой уже известны значение f(x₀) самой функции и значение f'(x₀) ее производной.

Например, пусть f(x) = x^α и x₀=1. Тогда f(1) = 1^α = 1, f'(x) = αx^α-1, f'(1) = α1^α-1 = α, поэтому, полагая x = 1 + Δ, из (12) находим следующую формулу (1+Δ)^α ≈ 1+α·Δ для приближенных вычислений, справедливую для любых (не только целых) значений α, при условии малости величины Δ. По этой формуле

;

;

(1,05)⁷ = (1+0,05)⁷≈ 1+7·0,05 = 1,35.

Важную формулу (12) можно уточнить, если привлечь производные более высоких порядков, которые мы сейчас определим.

Поскольку производная f'(x) функции f(x) сама оказывается функцией аргумента x, то можно поставить вопрос о нахождении производной функции f'(x), т.е. функции (f')'(x), которая обозначается символом f"(x) и называется второй производной исходной функции f(x). Например, если s(t) - закон движения, v(t) = s'(t) - его скорость, а a(t) = v'(t) - ускорение, то a(t) = s"(t) есть вторая производная функции s(t). Вообще можно определить производные любого порядка: n-я производная функции есть производная от ее (n-1)-й производной.

Для обозначения производных порядка n обычно используют символы fⁿ(x) или  в отличие от символов f'(x), f"(x), f'"(x), употребляемых только для производных малых порядков (1, 2, 3).

Зная производные функции x^α, sin x, cos x, легко проверить по индукции, что производные n-го порядка от этих функций соответственно равны

α(α-1)...(α-n+1)x^α-n,

sin (x + n π/2), cos (x + n π/2).

Теперь вернемся к формуле (12), в которой функция f(x) приближенно заменяется стоящим в правой части многочленом 1-й степени относительно x-x₀. Оказывается, соотношение (12) является частным случаем общего равенства

,      (13)

называемого формулой Тейлора, в котором о величине r_n+1, называемой остаточным членом формулы Тейлора, говорится, например, что ее можно представить в виде:

,      (14)

похожем на вид предыдущих членов формулы, но только здесь fⁿ⁺¹(x) вычисляется не в точке ξ, а в некоторой точке лежащей между x₀ и x.

Но этой информации бывает достаточно для вычислительных целей. Так, если f(x) = sin x, а x₀=0, то вспомнив, что

sin ⁽ⁿ⁾(x) = sin (x+n π/2),

получаем

.

Значит, если, например, |x| ≤ 1, а n = 6, то |r₇| < 10^-3 и потому, подставив в (13) f^(k)(0) = sin (kπ/2), находим формулу:

sin x ≈x - x³/3! + x⁵/5!,      (15)

позволяющую при любом x из отрезка [-1;1] вычислить значение sin x с точностью, не худшей, чем 10^-3.

Можно проверить, что в рассматриваемом случае r_n+1 → 0 при неограниченном увеличении n, поэтому можно предложить такую запись:

.      (16)

Справа в этом равенстве стоит бесконечно много слагаемых, т.е., как говорят, имеется ряд. Равенство (16) понимается, как и вообще сумма ряда, в том смысле, что при любом значении x разность между sin x и суммой конечного числа взятых по порядку слагаемых ряда стремится к нулю, если количество слагаемых неограниченно увеличивается.

Ценность формул вида (15), (16) состоит в том, что они позволяют заменить вычисление значений сложной функции вычислением значений приближающего ее многочлена. Вычисление же значений многочлена сводится к одним арифметическим операциям, которые, например, можно выполнить на электронной вычислительной машине.

Ряд (16) является частным случаем ряда

,     (17)

который можно написать для любой бесконечно дифференцируемой функции f(x). Он называется рядом Тейлора этой функции (Б. Тейлор (1685-1731) – английский математик). Ряд Тейлора (17) не всегда имеет своей суммой породившую его функцию f(x), поэтому вопрос о сумме ряда Тейлора каждый раз требует определенного исследования, например такого, какое мы сделали выше, оценивая величину остатка r_n+1. Такими рассуждениями можно показать, что

при любом значении x, а равенство

имеет место при |x|<1, если α не целое, и при любом x, если α = n - целое положительное число. Но если α = n, то α(α-1)...(α-m) = n(n-1)...(n-m) = 0 при m > n. Значит, при целых положительных n, в частности, получается соотношение:

,