Энциклопедический словарь юного математика

В 1874 г. Вейерштрасс представляет три работы своей ученицы в Геттингенский университет для присуждения степени доктора философии, подчеркивая, что для получения степени достаточно любой из этих работ. Работа «К теории дифференциальных уравнений в частных производных» содержала доказательство решений таких уравнений. В наши дни эта важнейшая теорема о дифференциальных уравнениях называется теоремой Коши-Ковалевской. Другая работа содержала продолжение исследований Лапласа о структуре колец Сатурна, в третьей излагались труднейшие теоремы математического анализа. Степень была присуждена Ковалевской «с высшей похвалой».

С дипломом доктора философии она возвращается в Петербург и почти на 6 лет оставляет занятия математикой. В это время начинается ее литературно-публицистическая деятельность.

В 1880 г. Ковалевская переезжает в Москву, но там ей не разрешили сдавать в университете магистерские экзамены. Не удалось ей получить также место профессора на Высших женских курсах в Париже. Только в 1883 г. она переезжает в Швецию и начинает работать в Стокгольмском университете, где через год становится профессором. В течение 8 лет она прочитала 12 курсов лекций. Годы работы в Стокгольмском университете – период расцвета ее научной и литературной деятельности.

В 1888 г. Ковалевская написала работу «Задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки», присоединив к двум движениям гироскопа, открытым Л. Эйлером и Ж. Лагранжем, еще одно. За эту работу ей была присуждена премия Парижской академии наук – премия Бордена, причем сумма премии была увеличена ввиду высокого качества работы.

Через год по настоянию П. Л. Чебышева и других русских математиков Петербургская академия наук избрала Ковалевскую своим членом-корреспондентом. Предварительно для этого было принято специальное постановление о присуждении женщинам академических званий.

С. В. Ковалевская мечтала о научной работе в России, но ее мечта не сбылась, в 1891 г. она умерла в Стокгольме.

------------------------------------------

Решение дифференциального уравнения есть кривая, которая в каждой точке касается поля направлений, ее называют интегральной кривой. Рис. 5 позволяет довольно ясно представить, как должны выглядеть интегральные кривые этого уравнения.

В XVIII в. теория дифференциальных уравнений выделилась из математического анализа в самостоятельную математическую дисциплину. Ее успехи связаны с именами швейцарского ученого И. Бернулли, французского математика Ж. Лагранжа и особенно Л. Эйлера. Первый период развития дифференциальных уравнений был связан с успешным решением некоторых важных прикладных задач, приводящих к дифференциальным уравнениям, разработкой методов интегрирования различных видов дифференциальных уравнений и поиском классов интегрируемых уравнений, т.е. таких, решение которых может быть найдено в квадратурах (в виде элементарных функций или их первообразных). Однако очень скоро выяснилось, что интегрируемых уравнений совсем не много. Даже уравнение первого порядка очень простого вида может не интегрироваться в квадратурах. Например, уравнение, для которого на рис. 5 было изображено поле направлений, имеет бесконечно много решений, но они не выражаются в квадратурах.

Установление таких фактов привело к развитию собственно теории дифференциальных уравнений, которая занимается разработкой методов, позволяющих по свойствам дифференциального уравнения определять свойства и характер его решения.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Доказательство – цепочка умозаключений, устанавливающая истинность данного суждения.

Метод перебора – один из простейших методов доказательства. Например, чтобы установить, что заданное число, скажем 103, простое, достаточно проверить, что оно не делится ни на одно простое число, не превосходящее корня из данного числа, в нашем случае, что оно не делится на 2, 3, 5, 7.

Однако когда количество объектов бесконечно, то уже невозможно перебрать все варианты. Здесь может помочь метод математической индукции, с помощью которою можно доказывать утверждения уже для бесконечного количества объектов.

Один из методов доказательства – принцип Дирихле (см. Дирихле принцип).

Доказательство – единственный способ установления истины в классической математике. Оно далеко не сразу заняло в математике такую исключительную роль. Например, в египетской и вавилонской математике вычислительные формулы, т.е. «рецепты» решения задач, так или иначе угадывались, они подвергались экспериментальной проверке, а затем сообщались в виде немотивированных утверждений.

Доказательства не сразу появились и в греческой геометрии. Архимед (III в. до н.э.) говорил о результатах, ранее «найденных, но не доказанных». С V в. до н.э. философы, начиная с Парменида и его ученика Зенона, во многом учась у ораторов, вычленяют различные приемы перехода от одних истинных утверждений к другим. Парменид формулирует закон «исключенного третьего» (из двух противоположных утверждений одно, и только одно, истинно), а Зенон использует метод приведения к абсурду (противоречию).