Энциклопедический словарь (К)

Если бы задача К. круга решалась линейкою и циркулем, то число , следовательно, и само (строились бы при помощи последовательного и конечного ряда прямых и кругов, а потому число (можно было бы вычислить при помощи ряда уравнений первой степени и квадратных. Из алгебры известно, по какой бы ни был задан ряд уравнений первой и второй степеней и таких, что коэффициенты каждого следующего уравнения зависят от корней предыдущих, всегда можно этот ряд уравнений заменить одним, более высокой степени с целыми коэффициентами, а потому число p было бы корнем алгебраического уравнения, что невозможно. Из рассмотрения формулы . R ясно, что К. круга была бы найдена, если и помимо чисто геометрического построения удалось бы точно выразить длину окружности круга в частях радиуса или просто найти число, точно выражающее величину p. Соответственно этим разным постановкам вопроса, в истории изысканий К. круга встречаются — то чисто геометрические приёмы построений, то попытки вычисления величины p. Уже у египетских математиков находятся первые решения задачи, как построить квадрат, равновеликий данному кругу, или определить соотношение между окружностью и её диаметром. В британском музее хранится папирус Ринда, написанный Ахмесом за 2000 лет до Р. Хр., в котором автор называет своё решение сводом правил, известных ещё гораздо раньше. По Ахмесу, сторона квадрата, равновеликого площади круга, равна восьми девятым диаметра (так что p = 3,16). — У древних вавилонян и евреев принималось, что окружность ровно втрое больше диаметра и следовательно, p=3. — У греков, по словам Платона, К. круга занимался уже Анаксагор, во время своего пребывания в изгнании (V в. до Р. Хр.). Первая попытка указать «пределы» для числа p была сделана Бризоном, который справедливо говорит, что окружность круга должна быть меньше периметра многоугольника, описанного около неё и больше периметра вписанного в нее многоугольника. Гиппократ старался определить площадь круга при помощи так наз. «луночек». Динострат спрямил окружность при помощи построения особой кривой «квадратриссы». Замечательно, что знаменитый Евклид в своих «Элементах» геометрии совершенно не упоминает о К. круга и рассматривает только отношение площадей кругов разных радиусов. Совершенно самостоятельно и независимо от предшественников взглянул на эту задачу Архимед. Он вычислил периметры вписанных и описанных 96-ти угольников и показал, что величина p заключается между пределами 31/7 и 310/71; число 31/7= 22/7 и до сих пор во многих практических вопросах считается весьма удобным и достаточным приближением для p. Достойно удивления, что свои сложные и продолжительные вычисления Архимед производил во времена, когда не употреблялась ещё арабская система счисления. Птолемей дал для p число 317/120, более точное, чем 31/7, но оно не вошло в употребление, будучи найдено позднее более простого числа Архимеда. В Кулвазутрасе, весьма древнем математическом сочинении индусов, находится решение задачи, обратной К. круга: построить круг, равновеликий данному квадрату; по этому решению радиус искомого круга равен половине стороны квадрата, увеличенной на треть разности между половиной диагонали и половиной стороны данного квадрата. Ариабхатта (500 л. по Р. Хр.) вычислил p = 3,1416; это число точнее, чем приближения Архимеда и даже Птолемея, так как вычислитель, следуя методу Архимеда, дошёл до 384-х угольника. Другой индийский математик Браматупта (VII в.) нашёл, что ; это число, как связанное с десятичной системой счисления, долгое время считалось лучшим приближением и неизменно употреблялось потом всеми арабскими математиками. В китайских книгах найдена величина p = 37/50, которая менее точна, чем число Архимеда. В Европе изыскания К. круга начались лишь с XV в. Кардинал Николай Куза нашёл следующее решение: по данному кругу должно построить другой, диаметр которого равен радиусу данного круга плюс сторона вписанного в него квадрата. Тогда периметр вписанного во второй круг равностороннего треугольника равен окружности данного круга. Легко рассчитать, что это приближение хуже приближения Архимеда. Симон Ван-Эйк в конце XVI в. обнародовал сложное построение, которое даёт для p величину, более точную, чем приближение Архимеда. Чтобы доказать неверность этого построения, другой голландский математик Адриан Мециус занялся изысканием для p величины более точной чем 22/7. Таким образом ошибочное построение Ван-Эйка было поводом к открытию знаменитой и легко запоминаемой дроби 355/113, которая представляет отношение окружности к диаметру с точностью до 0,000001. Не лишнее заметить, что ныне, при помощи теории непрерывных дробей доказано, что при употреблении только трехзначных чисел, никакие два другие числа не могут представить величину p точнее, чем отношение 355:113, найденное Мециусом. Неутомимый вычислитель Романус, применяя способ Архимеда, дошёл до многоугольников о 1073741824 сторонах, т. е. числа сторон, равного 230. Но Лудольф Ван-Цейлен превзошёл его и для p дал число с 35-ю десятичными знаками. Это число, названное «лудольфовым», равно: