Энциклопедический словарь (К)

3,14159265358979323846264338327960288.

Снеллиус и Гюйгенс в XVII в. указали новые пути, дающие возможность, рассматривая многоугольники с меньшим числом сторон, находить приближения для p гораздо скорее и с большим числом десятичных знаков. Однако, вычислительные приёмы сделались ещё проще с тех пор, как для величины p начали открывать формулы, составленные из бесконечного повторения операций над известными числами. Первая мысль отыскать такие формулы принадлежит Виету; он дал ряд

по которому и вычислил сам величину p до 4-х десятичных знаков. Валлис дал другое замечательное произведение, а Грегори, и, независимо от него Лейбниц открыли ряд:

Оригинальный ряд, откуда получается предыдущий как частный случай, есть arctg где а есть тангенс центрального угла в круге, которого радиус равен единице. На основании этого ряда легко составить и такой:

где а, b, с.... суть тангенсы углов, которых сумма равна 45°. Выбрав а, b, с.... малыми, лёгкими для обработки и удовлетворяющими поставленному условию углами, получаются вообще весьма удобные для вычисления ряды. По этому способу лондонский проф. Мехин в 1706 г. вычислил p с 100 десятичными знаками. Он положил

и , т. е. употребил ряд:

До сих пор это лучшая и удобнейшая формула для приближенного вычисления p. Тем не менее открывают и новые ряды, так лорд Брункер представил p в виде непрерывной дроби:

Много строк, бесконечных произведений и непрерывных дробей, дающих p, открыты знаменитым Эйлером, например:

По разным подобным формулам современные математики вычисляют величину p с гораздо большей степенью приближения, чем прежние. Дазе нашёл 200 цифр, Рихтер 500, а Шанкс даже 700. Однако, такое точное вычисление не имеет ни теоретического интереса ни практического значения. Вообразим шар, которого радиус равен расстоянию Сиpиуca от земли (около 134 биллионов километров) и наполненный микробами так тесно, что в каждом кубическом миллиметре их помещается целый биллион (1012). Вообразим далее, что все эти микробы выровнены на прямой, и расстояние между каждыми двумя соседними равно расстоянию Сириуса от земли. Примем теперь эту прямую за диаметр круга и вычислим длину окружности этого круга при помощи (с 100 десятичными знаками. Полученное число даст длину этой окружности с ошибкою против истины лишь в одну миллионную миллиметра. Упомянем ещё об одном любопытном приёме для приближённого определения p, основанном на совершенно иных началах. Если начертить на полу систему равноотстоящих параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, образующих равные квадратики, и бросать на пол иглу, длина которой равна стороне каждого квадратика, то, считая случаи, когда упавшая игла поместится внутри какогонибудь квадратика, не пересекая его сторон, получим, что вероятность этого числа, т. е. отношение числа таких попаданий к общему числу бросаний, равна p-3. Проф. Вольф в Цюрихе, предложивший этот способ, бросал иглу 10000 раз и получил p с тремя верными десятичными знаками. В заключение перечислим учёных, которым наука обязана объяснением невозможности К. круга. Ламберт в 1761 г. доказал, что p не есть рациональное число и не есть корень из рационального числа, т. е. что ни p, ни p2 не могут быть представлены простыми дробями, как бы ни были велики их числители и знаменатели. Лежандр первый высказал мысль, что p должно быть число трансцендентное, но только Эрмит, в сочинении «Sur la Fonction Exponentielle» («Comptes Rendus», т. 77, 1873) показал, что основание Неперовых логарифмов, т. е. число е, есть трансцендентное, а Линдеман в 1882 г. («Mathematische Annalen», т. XX), на основании соображений, подобных соображениям Эрмита, показал, что и p есть число трансцендентное. Теорема Линдемана заключается в том, что если х есть корень алгебраического уравнения, которого коэффициенты действительные или мнимые числа, то еx не может быть числом алгебраическим; а так как, то следовательно , а потому и p не может быть числом алгебраическим.

Литература. Montucla, «Histoire des recherches sur la quadrature du cercle» (Пар., 1754); Rudio, «Vier Abhandlungen ueber die Kreismessung» (Лпц., 1892); Hurwitz, «Beweis der Transcendenz der Zahle e und p». На русском языке: Марков, «Доказательство трансцендентности чисел е и p» (СПб., 1883) и перевод статьи Вейерштрасса о невозможности К. круга, в «Известиях Физ. Мат. Общества при казанском унив.» (1894, № 3).

В. Витковский.

Квази

Quasi (как бы, почти) — слово, приставляемое к музыкальному термину, которому хотят дать приблизительное сходство с другим термином; напр. andante quasi allegretto обозначает, что andante должно иметь движение почти одинаковое с allegretto. Quasi una fantasia — сочинение, написанное под влиянием формы фантазии или почти как фантазия. Quasiaccorde — фиктивные, кажущиеся аккорды или случайные гармонии, образуемые проходящими, вспомогательными нотами. Quasisynkope — нота на слабом времени с акцентом и её повторение на сильном, но без соединяющей лиги.

Квакеры