Есть идея!

Ковровое покрытие для кольцевого коридора в здании нового аэропорта было поручено изготовить компании, возглавляемой мистером Тэком.

Увидев план коридора, мистер Тэк решил, что над ним подшутила, я разгневался: единственным размером, указанным на чертеже, была длина хорды, касательной к внутренней стене коридора.

Мистер Тэк. Уберите чертеж, чтобы я его больше не видел! Как, скажите на милость, я смогу представить смету на ковровое покрытие, если мне не известна площадь коридора? Посоветуюсь-ка я с моим дизайнером мистером Шарпом.

Мистер Шарп, искусный геометр, выслушал мистера Тэка спокойно.

Мистер Шарп. Длина этой хорды, мистер Тэк, — единственный размер, который мне нужен. Я подставлю его в известную мне формулу и узнаю площадь коридора.

Мистер Тэк с минуту удивленно смотрел на мистера Шарпа, а потом улыбнулся.

Мистер Тэк. Благодарю вас, мистер Шарп, я могу назвать вам площадь коридора и без этого.

Знаете ли вы, как мистер Тэк сумел определить площадь кольцевого коридора?

Удивительная теорема

Мистер Тэк рассуждал следующим образом. Мистер Шарп пользуется заслуженной репутацией искусного и сведущего геометра, поэтому, если он говорит, что у него есть формула, позволяющая вычислять площадь кольца по длине хорды, касательной к внутренней окружности, то она у него действительно есть. Если длина хорды, касательной к внутренней окружности, будет оставаться равной 100 м, то, как бы ни изменялись радиусы внешней и внутренней окружностей, по формуле мистера Шарпа площадь кольца должна оставаться неизменной.

Далее мистер Тэк спросил себя, что произойдет, если радиус внутреннего кольца уменьшится до нуля — своего минимального значения. Кольцо в этом случае превратится в круг, а хорда длиной 100 м станет диаметром круга. Площадь круга равна π·50² кв. м ≈ 7854 км. м. Следовательно, если предположить, что формула мистера Шарпа существует, то площадь кольца также должна быть равна 7854 кв. м.

В общем случае кольцо имеет такую же площадь, как круг с диаметром, равным длине наибольшего отрезка прямой, который только умещается в кольце. Эту удивительную теорему нетрудно доказать, если воспользоваться формулой для площади круга.

Трехмерный аналог этой задачи звучит так: найти объем отрезка толстостенной цилиндрической трубы, если помимо его длины известна длина самого длинного отрезка, который только умещается на одном из торцов трубы (рис. 19). Этот отрезок соответствует касательной в двумерной задаче, и, зная его длину, мы без труда находим площадь поперечного сечения трубы. Умножив площадь сечения на длину отрезка трубы, найдем его объем.

Менее очевидным трехмерным аналогом задачи о площади кольца является следующая красивая задача. Через центр шара просверлено сквозное цилиндрическое отверстие. Длина канала 6 см. Чему равен объем оставшейся части сферы? И в этом случае кажется, что ответить на вопрос задачи, невозможно: слишком скудны сведения, которыми мы располагаем. Однако исходя из совершенно элементарных соображений, можно показать, что оставшаяся часть сферы имеет такой же объем, как сплошная сфера, диаметр которой равен длине просверленного канала.

Как и в предыдущем случае, ответ задачи мы получаем сразу же, как только предположим, что задача разрешима! Действительно, если решение задачи существует, то объем части сферы, оставшейся после просверливания сквозного отверстия, не должен зависеть от диаметра отверстия. Устремим поэтому диаметр отверстия к наименьшему значению — нулю. Отверстие при этом сжимается в прямую — диаметр сплошной сферы. Следовательно, объем оставшейся части сферы равен 4/3·π·3³ куб. см = 36π куб. см.

Торт для именинницы

Обед шел к концу. Мистер Джонс сидел за столом вместе с женой, десятилетним сыном и семилетней дочерью Сьюзен.

Был день рождения Сьюзен, и миссис Джонс испекла небольшой квадратный торт 20 см × 20 см и толщиной 5 см, обильно покрытый глазурью сверху и с четырех сторон.

Мистер Джонс. Замечательный торт! Всем хватит. Первый кусок торта я отрежу для Сьюзен. Ей сегодня исполнилось 7 лет, и я отступлю на 7 см от углов и проведу разрезы через центр.

Кусок получился причудливой формы, и Сьюзен, которой он достался, пожаловалась.

Сьюзен. Папа, ты отрезал мне маленький кусочек, меньше четверти! Даже если ты отрезал мне четверть торта, то глазури на ней маловато!

Брат Сьюзен придерживался другого мнения.

Брат. Какая ты жадина, Сьюзен! Мне кажется, что папа отрезал тебе слишком много. Не мешало бы тебе кое с кем поделиться излишками.

Мистер Джонс. Вы оба заблуждаетесь. Сьюзен получила ровно четверть торта и ровно четверть глазури.

Не могли бы вы объяснить, прав ли мистер Джонс?

Чтобы убедиться в правоте мистера Джонса, достаточно продолжить линии разрезов за центр до пересечения с противоположными сторонами торта. Продлив каждый разрез, вы тотчас же убедитесь, что они делят торт на четыре конгруэнтные части.

Как разрезать праздничный пирог?