Есть идея!

На следующий год в спортивный клуб записалось 37 школьников. Тренер снова составил таблицу розыгрыша турнира, постаравшись свести до минимума число участников, которые переходят в следующий круг без игры. Сколько партий было сыграно за весь турнир на этот раз?

Как, вы еще не сосчитали? А ведь задача решается просто! В каждой партии проигравший выбывает, а поскольку дли того, чтобы определить победителя, следует исключить всех участников, кроме одного, то за весь турнир должно состояться 36 партий. Не правда ли, все очень просто?

Сколько участников турнира перейдут в следующий круг без игры?

Если вы пытались решить задачу о турнире по настольному теннису «в лоб», составляя различные варианты таблиц розыгрыша турнира с 37 участниками, то, должно быть, заметили, что независимо от способа составления таблицы число участников, переходящих в следующий круг без игры, всегда равно 4. В общем случае число участников, для которых в очередном круге не хватает партнера, есть функция от числа n всех участников турнира. Кате установить, сколько участников вынуждены будут перейти в следующий круг без игры?

При заданном n число участников, остающихся без партнера, можно определить следующим образом. Вычтем из n наименьшую степень числа 2, которая больше или равна n. Полученную разность запишем в двоичной системе. Число единиц в двоичной записи и будет равно числу участников турнира, вынужденных перейти в следующий круг без игры из-за нехватки партнера. В нашей задаче мы вычтем 37 из 64 (то есть из 2⁶) и получим разность, равную 27. Десятичное число 27 в двоичной системе имеет вид 11011. Поскольку в его записи 4 единицы, то за весь турнир без игры в следующий круг перейдут 4 игрока. Обоснование этого алгоритма для определения числа участников, которым не хватает партнера, мы предоставляем читателю в качестве интересного упражнения.

Описанный в задаче тип турнира иногда называют «игрой на вылет». Он аналогичен алгоритму, который вычислители, работающие на современных ЭВМ, используют для нахождения наибольшего элемента в множестве из n элементов: наибольший элемент находят, сравнивая попарно элементы множества и отбрасывая при очередном сравнении тот из двух элементов, который не больше другого. Как мы уже знаем, чтобы найти наибольший элемент, достаточно произвести ровно n − 1 попарных сравнений. При автоматической сортировке сравнивать можно не только по 2, но и по 3, 4 и т. д. элемента.

Автоматическая сортировка играет важную роль в вычислительной математике и в информатике. Ей посвящено немало книг. Каждый из нас без труда назовет длинный перечень примеров применения автоматической сортировки. Подсчитано, что примерно четверть машинного времени в научных и в технических расчетах затрачивается на решение задач, связанных с сортировкой данных.

Стаканчики профессора Квиббла

Как-то раз продавец прохладительных напитков Барни предложил двум покупателям следующую задачку.

Барни. Перед вами 10 бумажных стаканчиков, расставленных в ряд. В первые 5 стаканчиков я наливаю кинки-колу, остальные 5 стаканчиков остаются пустыми. Можно ли переставить 4 стаканчика так, чтобы пустые и полные стаканчики чередовались?

Барни. Правильно! Стоит лишь переставить второй стаканчик с седьмым, а четвертый с девятым, как задача будет решена.

Разговор Барни с покупателями услышал проходивший мимо профессор Квиббл, большой любитель неожиданных решений, который счел необходимым вмешаться.

Проф. Квиббл. Переставлять 4 стаканчика совсем не обязательно. Я берусь решить задачу, переставив лишь 2 стаканчика. Как, по-вашему, это возможно?

Проф. Квиббл. Мое решение проще простого. Я беру второй стаканчик и переливаю его содержимое в седьмой, а содержимое четвертого стаканчика — в девятый.

Глубокая мысль

Хотя предложенное профессором Квибблом шуточное решение основано на неоднозначном толковании слова «переставить» (означающего не только «поменять местами», как полагал Барни, но и «поставить по-другому», чем и воспользовался профессор Квиббл), исходная задача не столь тривиальна, как может показаться. Рассмотрим, например, аналогичную задачу для случая, когда из 200 стаканчиков, выстроенных в ряд, в первые 100 налита кинки-кола, а 100 остальных оставлены пустыми. Сколько пар стаканчиков следует поменять местами, чтобы пустые и полные стаканчики чередовались?