Этика. О Боге, человеке и его счастье

Доказательство. Тело, движущееся по кругу, постоянно удерживается внешней силой от дальнейшего движения по прямой линии (по предыдущему королларию), а если эта сила прекращается, то тело само по себе начинает двигаться по прямой (по т. 15). Я говорю далее, что тело, движущееся по кругу, определяется внешней причиной к дальнейшему движению в направлении касательной. Оспаривая это, надо предположить, что, например, камень пращи в В определяется не в направлении касательной BD, но в другом направлении, которое представляется от этой точки внутри или вне круга, например по BF, когда праща представляется идущей из части L к В, или по ВС (о которой я предполагаю, что она образует с диаметром ВН угол, равный FBH), когда предполагается обратное движение пращи от С к В. Если же предположить, что в точке В камень пращи, движущейся по кругу от L к В, определяется к дальнейшему движению к F, то при движении пращи в обратном направлении от С к В камень необходимо должен (по акс. 18) продолжать движение в направлении, противоположном линии BF, и потому будет стремиться к K, а не к С, что противно допущению. Но так как[48], кроме касательной, через точку В нельзя провести линии, образующей с линией ВН с обеих сторон равные углы, подобно DBH и АВН, то лишь одна касательная в состоянии не противоречить одному и тому же допущению, как бы ни двигалась праща, от L к В или от С к В, и, следовательно, можно принять лишь касательную как линию, по которой камень стремится двигаться, что и требовалось доказать.

Фиг. 10

Другое доказательство. Возьмем вместо круга шестиугольник, вписанный в круг АВН, и пусть тело С на одной стороне АВ находится в покое, затем представим себе линейку DBE (один конец которой укреплен в центре D, а другой подвижен), которая движется вокруг центра и притом постоянно пересекает линию АВ. Очевидно, что при таком движении линейки DBE она встретит тело С в то мгновение, когда она пересечет линию АВ под прямым углом, и что своим толчком она заставит тело С двигаться по прямой линии FBAG по направлению к G, т. е. по стороне АВ, продолженной в бесконечность. Но мы взяли здесь шестиугольник совершенно произвольно, то же верно и для всякой иной фигуры, которую можно себе представить вписанной в круг. Именно: если тело С, находящееся в покое на одной стороне фигуры, получит толчок от линейки DBE в то мгновение, когда она пересекает эту сторону под прямым углом, то тело будет приведено линейкой в движение по направлению этой стороны, продолженной в бесконечность. Поэтому если вместо шестиугольника представим себе прямолинейную фигуру с бесконечным числом сторон (т. е. круг, по определению Архимеда), то очевидно, что линейка DBE, где бы она ни встретила тело, всегда встретит его в то время, когда она пересечет одну сторону такой фигуры под прямым углом. Поэтому она никогда не встретит тела С, не приведя его одновременно в движение в направлении линии, продолженной в бесконечность. Но так как всякая сторона, продолженная по обоим направлениям, всегда должна пройти вне фигуры, то такая неопределенно продолженная сторона фигуры с бесконечным числом сторон, т. е. круга, будет всегда касательной. Если же представить себе вместо линейки пращу, движущуюся в круге, то она постоянно будет приводить камень в движение в направлении касательной, что и требовалось доказать.

Фиг. 11

Следует заметить, что оба доказательства можно отнести к любой криволинейной фигуре.

Теорема 17

Всякое тело, движущееся по кругу, стремится удалиться от центра круга, который оно описывает.

Доказательство. Пока тело движется по кругу, оно приводится в движение внешней причиной, с прекращением которой оно продолжает двигаться в направлении касательной (по предыдущей теореме), все точки которой, кроме той, где она касается круга, лежат вне круга (по т. 16, кн. II «Элементов» Евклида) и потому дальше отстоят от него. Поэтому камень, находящийся в праще ЕА и движущийся по кругу, когда он находится в точке А, стремится двигаться по прямой, все точки которой отстоят от центра Е дальше, чем все точки окружности LAB, т. е. он стремится удалиться от центра описываемого им круга, что и требовалось доказать.

Фиг. 12

Теорема 18

Если тело, например А, движется к покоящемуся телу В, а В, несмотря на толчок А, не теряет своего покоя, то и В не потеряет ничего из своего движения, но удержит вполне то же количество движения, какое оно имело раньше.