Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни

В настоящее время существует несколько спутниковых навигационных систем, но я сосредоточусь на первой и наиболее широко используемой из них – Global Positioning System (GPS). Проект был начат в 1973 году под эгидой Министерства обороны США. Основа системы – группировка орбитальных аппаратов: первоначально их было 24, теперь 31. Первый спутник-прототип был запущен в 1978 году, а полная группировка начала функционировать в 1993 году. Первоначально система GPS предназначалась для военного использования, но указ президента Рональда Рейгана от 1983 года сделал ее доступной гражданам в низком разрешении. GPS постоянно модернизируется, и еще несколько стран в настоящее время имеют собственные системы спутникового позиционирования, начиная с российской Глобальной навигационной спутниковой системы (ГЛОНАСС), дающей точность до двух метров. В 2018 году Китай начал создавать свою навигационную спутниковую систему BeiDou, которая сейчас, возможно, функционирует в полном объеме. Навигационная система Европейского союза называется Galileo. Великобритания покинула ЕС и не участвует теперь в эксплуатации системы, но в ознаменование триумфа идеологии над здравым смыслом объявила о разработке собственной системы навигации. Индия строит NavIC, а Япония – Quasi-Zenith Satellite System (QZSS), что должно позволить им ликвидировать зависимость от GPS к 2023 году.

Первоначальная группировка GPS из 24 спутников, по четыре на каждой из шести орбит[10]

С технической точки зрения GPS включает в себя три «сегмента»: космический (собственно спутники), управляющий (наземные станции) и пользовательский (вы в своей машине). Спутники рассылают дальномерные коды. Управляющий сегмент следит за орбитами спутников и точностью их часов и при необходимости передает команды на коррекцию орбиты или синхронизацию часов. Пользователю достаточно дешевого маломощного приемника, встроенного в мобильный телефон и сообщающего приложениям, где он находится.

Совокупность спутников традиционно называется «группировкой». По проекту группировка GPS включает в себя 24 спутника на примерно круговых орбитах на высоте 20 200 км над поверхностью Земли, или 26 600 км от ее центра. Я оставлю в стороне более поздние дополнительные спутники, которые не меняют основную идею, а лишь делают систему более надежной и точной. Существует шесть орбит в плоскостях, пересекающих плоскость экватора под углом 55° и распределенных равномерно вдоль экватора. На каждой орбите находятся четыре равноудаленных спутника, которые вечно гонятся друг за другом. Радиус орбиты рассчитан таким образом, чтобы спутник возвращался в одну и ту же точку орбиты каждые 11 часов 58 минут. В результате он оказывается примерно над одним и тем же местом на Земле дважды в сутки, но при этом медленно дрейфует.

Следующий математический элемент – геометрия орбиты. Такая конфигурация орбит и размещения спутников означает, что в любой момент по крайней мере шесть спутников видны (то есть сигналы с них могут быть получены) из любой точки планеты. Какие именно шесть, зависит от того, где вы находитесь, и этот набор меняется со временем, поскольку Земля вращается и спутники тоже обращаются по своим орбитам.

В системе GPS пользователям не нужно передавать на спутники никакой информации. У них есть приемник, который принимает дальномерные коды со всех видимых на данный момент спутников. Приемник обрабатывает сигналы с точной привязкой ко времени, чтобы определить с их помощью, где он находится. Базовый принцип прост, так что давайте сначала рассмотрим его. Затем я укажу на некоторые тонкости, о которых необходимо позаботиться, чтобы эта система работала в реальном мире.

Начнем с одного спутника. Он отправляет дальномерные коды, по которым ваш приемник определяет, как далеко этот спутник находится в настоящий момент. (Позже мы увидим, как это рассчитывается.) Возможно, это расстояние составляет 21 000 км. Если исходить из этой информации, то вы находитесь на поверхности сферы со спутником в центре и радиусом 21 000 км. Сама по себе такая информация не слишком полезна, но в это же мгновение видимы еще по крайней мере пять спутников. Я буду называть их спутником 2, спутником 3 и т. д. до спутника 6. Каждый из них передает свои сигналы, которые вы принимаете одновременно, и каждый сигнал помещает вас на свою сферу с соответствующим спутником в центре: это сферы 2, 3, 4, 5, 6. Сигнал со спутника 2 совместно с сигналом со спутника 1 помещает вас на пересечение сфер 1 и 2, которое представляет собой окружность. Спутник 3 добавляет в эту систему свою сферу, которая пересекается со сферой 1 по другой окружности. Эти две окружности пересекаются друг с другом в двух точках, каждая из которых лежит на всех трех сферах. Сигнал от спутника 4 образует сферу 4, которая в общем случае позволяет определить, какая из двух точек является вашим истинным местоположением.