Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни

Компьютерное моделирование не позволяет «рассмотреть» модель Изинга в точности – модели не в состоянии привести формулу для статистических свойств со строгим математическим доказательством ее корректности. В принципе, современные системы компьютерной алгебры могли бы помочь исследователям угадать формулу, если таковая существует, но ей все равно потребуется доказательство. Более традиционное компьютерное моделирование позволяет получить убедительные свидетельства в пользу или против того, что модель соответствует реальности. Заветная цель математических физиков (или склонных к физике математиков, поскольку главная задача здесь носит чисто математический характер, хотя и мотивируется физикой) – получение точных результатов в отношении статистических свойств спиновых паттернов в модели Изинга, особенно в отношении того, как эти свойства меняются при прохождении температуры через точку Кюри. В частности, исследователи заняты поиском доказательств того, что в модели наблюдается фазовый переход, и намерены охарактеризовать его через критическую экспоненту и фрактальные свойства наиболее вероятных паттернов в точке перехода.

* * *

Теперь наша история становится более сложной для понимания, но я попытаюсь дать вам основные идеи, не углубляясь в подробности. Отбросьте недоверие и плывите по течению.

Самым важным математическим инструментом в термодинамике является так называемая функция разбиения. Получается она путем сложения, для всех состояний системы, определенного математического выражения, которое зависит от состояния и температуры. Точнее говоря, чтобы получить это выражение для любого заданного состояния, мы берем энергию этого состояния, делаем ее отрицательной и делим на температуру. Затем находим экспоненту этой величины и складываем эти выражения для всех возможных состояний{62}. Физическая идея здесь состоит в том, что вклад состояний с более низкими энергиями в эту сумму больше, так что в функции разбиения доминируют наиболее вероятные состояния (а сама она, соответственно, имеет в этом месте максимум).

Все обычные термодинамические переменные могут быть выведены при помощи подходящих манипуляций из функции разбиения, так что наилучший способ «рассмотрения» термодинамической модели состоит в вычислении функции разбиения. Изинг нашел свое решение, выведя формулу для свободной энергии{63} и предложив формулу для намагничивания{64}. Формула выглядит внушительно, но для Изинга она, должно быть, стала большим разочарованием, поскольку после всех хитроумных вычислений оказалось, что при отсутствии внешнего магнитного поля материал собственного магнитного поля не имеет. Хуже того, это верно для абсолютно любой температуры. Так что модель предсказывает отсутствие фазового перехода и спонтанного намагничивания, казалось бы, ферромагнитного материала.

Сразу же возникло подозрение, что главной причиной такого отрицательного результата стала простота модели. Конкретнее, подозрение пало на размерность решетки. По сути, размерность один слишком мала, чтобы привести к реалистичным результатам. Очевидно, следовало бы провести расчет для двумерной решетки, но это оказалось по-настоящему трудно. Методы Изинга для этого не годились. Только в 1944 году, после нескольких прорывных открытий, сделавших подобные расчеты более систематическими и простыми, Ларс Онсагер решил-таки двумерную задачу Изинга. Это было настоящее математическое достижение, давшее сложный, но явный ответ. Но даже тогда расчет предполагал отсутствие внешних магнитных полей.

Формула показывает, что теперь фазовый переход есть и приводит к существованию ненулевого внутреннего магнитного поля при температуре ниже критической, равной где k_B – постоянная Больцмана из термодинамики, а J – сила взаимодействия между спинами. Для температур вблизи критической точки удельная теплота уходит в бесконечность, как и логарифм разности между реальной и истинной температурой – одной из характеристик фазового перехода. В более поздних работах были выведены также различные критические экспоненты.

* * *

Но какое отношение эти игры со спинами электронов и магнитами имеют к прудам с талой водой во льдах Арктики? Тающий лед находится в состоянии фазового перехода, но лед – это не магнит, а таяние не связано с переворачиванием спинов. Откуда здесь может взяться полезная связь?

Если бы математика была жестко связана с какой-то одной физической интерпретацией, которая ее и породила, то ответ был бы «ниоткуда». Однако это не так. По крайней мере, не всегда. Именно здесь вступает в игру пресловутая непостижимая эффективность математики.

Моделирование развития системы талых прудов на базе модели Изинга[11]