Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни

Эйлер сформулировал все вышеизложенное в виде символьных последовательностей вроде BfDgCcAaBbAeD. Некоторое время спустя кто-то догадался, что всему этому можно дать графическую интерпретацию. Кто был первым – неясно, поскольку в середине XIX века эта идея уже витала в воздухе, однако известно, что термин «граф» предложил в 1878 году Джеймс Джозеф Сильвестр. Нарисуйте картинку с четырьмя точками A–D и семью линиями a–f. Сделайте так, чтобы каждая линия соединяла две области на концах соответствующего моста. Карта островов и мостов при этом упрощается, как на рисунке слева. Только что упомянутая символьная последовательность соответствует маршруту на картинке справа с началом в точке B и концом в точке D, где движение прекращается.

Это визуальное упрощение и есть граф кёнигсбергских мостов. В данном представлении неважно, где вы поставите четыре точки (хотя их следует ставить на некотором расстоянии друг от друга, чтобы избежать путаницы), да и конкретная форма линий тоже не имеет значения. Важно лишь, какие именно точки соединяет данная линия. В этой визуальной среде доказательство Эйлера становится очень естественным. Любой маршрут, который входит на участок суши по одному мосту, должен уйти с него по другому, если это не конец разомкнутого маршрута. Аналогично любой маршрут, покидающий участок по одному мосту, должен был ранее входить на него по другому, если это не начало разомкнутого маршрута. Так что мосты должны существовать парами, за исключением двух концов. Следовательно, все участки суши, расположенные не на концах маршрута, связаны с четным числом мостов. Если на концах число мостов нечетное, возможен только незамкнутый маршрут. В противном случае начало и конец могут находиться в одной области и соединяться без всяких мостов, образуя замкнутый маршрут. Теперь к каждой области подходит четное число мостов.

Решением этого единственного класса задач Эйлер дал старт двум важным областям математики. Одна из них – теория графов, которая изучает точки, соединенные линиями. Звучит очень просто, даже как-то по-детски. Так и есть. Но в то же время это глубоко, полезно и сложно, как мы увидим. Вторая – топология, которую иногда называют «геометрией резинового листа», где фигуры могут деформироваться непрерывно и при этом не считаться существенно различными. Здесь формы линий и расположение точек могут меняться как угодно при условии, что не меняется способ их соединения (требование непрерывности), и получается, по существу, тот же граф. Тот же в том смысле, что сообщает ту же информацию о том, что с чем соединяется.

Мне кажется замечательным, что простая головоломка может привести к таким значительным нововведениям. Воистину непостижимая эффективность. Кроме того, в этой истории содержится важный урок, который внешний мир зачастую не воспринимает. Не стоит недооценивать математику, которая выглядит просто и больше похожа на детскую игрушку, чем на что-нибудь серьезное. Дело не в том, насколько проста игрушка, а в том, как вы ее используете. Мало того, одна из главных задач хорошей математики состоит в том, чтобы сделать все как можно более простым. (Вы можете усмехнуться, и это будет справедливо, если вспомнить, насколько сложно выглядит значительная часть математики. Я просто должен здесь добавить оговорку, приписываемую Эйнштейну: как можно более простым, но не слишком простым.) Превращение островов в точки, а мостов в линии не меняет сути головоломки, а помогает отбросить лишнюю информацию: какая стоит погода? Грязно ли на улице? Мост металлический или деревянный? Эти вещи важны, если вы собираетесь на субботнюю прогулку или строите мост. Но если вы хотите ответить на вопрос, который ставил в тупик добрых граждан Кёнигсберга, все это лишь помехи.

* * *

Ну а какое отношение мосты Кёнигсберга имеют к трансплантации почек? Непосредственно почти никакого. Косвенно статья Эйлера положила начало развитию теории графов, которая открывает перед нами эффективный способ подбора доноров для реципиентов даже при условии, что большинство доноров готовы отдать свою почку только близкому родственнику{38}. Когда в Великобритании в 2004 году вступил в действие Закон о тканях человека, люди получили возможность законным образом отдавать почки не только родственникам.