Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни

Интересно, что аналогичные уравнения появились в геометрии, когда математики попытались использовать аналитический метод (продвинутый вариант дифференциального и интегрального исчисления) для расчета длины дуги сегмента эллипса. Именно отсюда берет начало термин «эллиптическая кривая». Ученые знали, как найти ответ на аналогичный вопрос для окружности с использованием интегрального исчисления, так что задача сводилась к нахождению интеграла функции, в которой присутствовал квадратный корень из квадратного многочлена, а это можно сделать при помощи (обратных) тригонометрических функций. Этот же метод в применении к эллипсу дает интеграл функции, в которой присутствует квадратный корень из кубического многочлена, и после нескольких бесплодных экспериментов стало ясно, что необходим какой-то новый класс функций. Эти функции оказались довольно красивыми, хотя и сложными и получили наименование эллиптических функций из-за их связи с длиной дуги эллипса. Квадратный корень из кубического многочлена есть решение y уравнения

y²= x³+ ax + b

(любое слагаемое с x² может быть превращено в 0 при помощи эквивалентных преобразований). В координатной геометрии это уравнение определяет кривую на плоскости, так что такие кривые (и их алгебраический вариант в виде уравнения) стали называть эллиптическими кривыми.

Если коэффициенты целые, мы можем рассмотреть данное уравнение в модулярной арифметике, скажем в Z₇. Каждое решение в обычных целых числах приведет нас к решению в арифметике по модулю 7. Поскольку эта система конечна, можно воспользоваться методом проб и ошибок. Для диофантова уравнения y² = x³ – x + 9 мы быстро обнаруживаем все его решения (mod 7):

Из этих решений можно сделать вывод, обязательный для любого решения в обычных целых числах: по модулю 7 любое решение должно сводиться к одному из этих шести. То же относится и к рациональным решениям при условии, что знаменатель у них не кратен 7 – такие решения запрещены, поскольку в Z₇ такой знаменатель превращается в 0. Если заменить 7 на какое-нибудь другое число, то можно получить больше информации о форме любого рационального решения.

Теперь мы смотрим на эллиптические кривые – уравнения – через призму конечных колец и полей. Геометрический образ кривой здесь, по существу, неприменим, поскольку имеется всего лишь конечное множество точек, но нам удобно пользоваться прежним названием. На рисунке показана типичная фигура и ее дополнительное свойство, известное еще Ферма и Эйлеру и интриговавшее математиков в начале XX века. Имея два решения, можно «сложить» их, чтобы получить еще одно решение, как показано на рисунке. Если решения – рациональные числа, то рациональным числом будет и их сумма. Это не просто «купи два, получи третье бесплатно», а «купи два, получи бесплатно уйму всего», потому что операцию и построение можно повторить. Иногда это вновь приводит нас в одну из начальных точек, но в основном подобные действия генерируют бесконечно много различных решений. Мало того, эти решения имеют красивую алгебраическую структуру: они образуют группу Морделла – Вейля эллиптической кривой. Луис Морделл доказал ее основные свойства, а Андре Вейль обобщил их. Слово «группа» здесь означает, что дополнение подчиняется короткому списку простых правил. Эта группа коммутативна, то есть P + Q = Q + P, что очевидно из рисунка, поскольку прямая, проведенная через P и Q, совпадает с прямой, проведенной через Q и P. Существование такой групповой структуры – явление необычное, и большинство диофантовых уравнений не может этим похвастаться. Многие из них вовсе не имеют решений, некоторые имеют всего по несколько, и трудно предсказать, какое именно уравнение находится перед вами. В настоящее время эллиптические кривые находятся в центре интенсивных исследований – по этой и другим причинам. Доказывая Великую теорему Ферма, Эндрю Уайлс доказал глубокую гипотезу об эллиптических кривых, которая стала одним из ключевых этапов доказательства.

* * *

Групповая структура эллиптической кривой интересует и криптографов. Обычно она рассматривается как форма «дополнения» к решениям, хотя формула там намного сложнее, потому что она коммутативна, и символ + стал традиционным в теории коммутативных групп. В частности, если есть решение (x, y), которое можно рассматривать как точку на плоскости, то мы можем генерировать решения P + P, P + P + P и т. д. Естественно называть такие решения 2P, 3P и т. д.