Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни

Со времен Ферма теория чисел серьезно продвинулась вперед. То же произошло и с алгеброй, где акцент сместился с символьного представления неизвестных чисел на общие свойства символьных систем, определяемых конкретными правилами. Эти две области исследований в значительной мере перекрываются. Кое-какие интереснейшие идеи о тайных шифрах появились на стыке двух специальных разделов алгебры и теории чисел: конечных полей и эллиптических кривых. Чтобы понять, о чем идет речь, для начала нужно разобраться, что это такое.

Мы видели, что в арифметике по некоторому модулю можно складывать, вычитать и умножать «числа», подчиняясь при этом обычным алгебраическим правилам. Чтобы не отвлекаться, я не стал перечислять эти правила, но типичными их примерами могут служить переместительный (коммутативный) ab = ba и сочетательный (ассоциативный) (ab)c = a(bc) законы умножения. Аналогичные законы существуют и для сложения. Распределительный (дистрибутивный) закон a(b + c) = ab + ac тоже выполняется, и есть еще простые правила относительно 0 и 1, такие как 0 + a = a и 1a = a. Любая система, в которой выполняются эти законы, называется кольцом. Если в системе возможно также деление (кроме деления на 0) и стандартные правила выполняются, мы получаем поле. Эти названия традиционны, заимствованы из немецкого и означают просто «некий набор вещей, подчиняющихся обозначенным правилам». Целые числа по модулю 26 образуют кольцо, известное как Z₂₆. Мы видели, что там есть проблемы с делением на 2 и 13, так что это не поле. Я сказал (не поясняя почему), что целые числа по простому модулю не имеют подобных проблем, так что Z₂, Z₃, Z₅, Z₇ и т. д. – целые числа по модулю 2, 3, 5, 7 и т. д. – все являются полями.

Обычные целые числа продолжаются до бесконечности и образуют бесконечное множество. Такие системы, как Z₂₆ и Z₇, напротив, конечны. Первая из них включает в себя только числа 0–25, а вторая – числа 0–6. Первая представляет собой конечное кольцо, вторая – конечное поле. Конечные числовые системы, если они не слишком велики, очень хорошо подходят для компьютерных вычислений, потому что те могут проводиться точно. Поэтому неудивительно, что на основе конечных полей построено множество различных кодов. Это не только криптографические шифры, которые должны обеспечивать секретность, но и коды распознавания и коррекции ошибок, задача которых – обеспечить прием сообщений без ошибок, возникающих из-за случайного «шума», такого как электрические помехи. Этими вопросами занимается целая новая область математики – теория кодирования.

Простейшими конечными полями являются Z_p, целые числа по простому модулю p. Тот факт, что они образуют поле, был известен (хотя и не в такой формулировке) Ферма. Французский революционер Эварист Галуа, убитый на дуэли в 20-летнем возрасте, доказал, что это не единственные существующие конечные поля. Он нашел их все: существует одно конечное поле для каждой простой степени pⁿ, и содержит оно ровно pⁿ различных «чисел». (Предупреждение: если n больше 1, это поле не является полем целых чисел по модулю pⁿ.) Таким образом, существуют конечные поля с 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, … элементами, но не с 1, 6, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, … элементами. Очень любопытная теорема.

Эллиптические кривые (с эллипсами они связаны лишь очень опосредованно) зародились в другой области – в классической теории чисел. Около 250 года древнегреческий математик Диофант Александрийский написал трактат о решении алгебраических уравнений с использованием натуральных (или рациональных) чисел. Например, знаменитый треугольник 3–4–5 имеет прямой угол, спасибо Пифагору, потому что 3² + 4² = 5². Следовательно, эти числа являются решением Пифагорова уравнения x² + y² = z². Одна из теорем Диофанта показывает, как найти все решения этого уравнения в долях и, в частности, в натуральных числах. Область в целом, где речь идет о решении уравнений в рациональных числах, получила известность как диофантовы уравнения. Ограничение до рациональных чисел меняет правила игры; например, x² = 2 может быть решено в действительных числах, но не в рациональных.

Одна из задач Диофанта звучит так: «Разделить заданное число на два числа, произведение которых равно кубу за вычетом его стороны». Если первоначальное число равно a, мы можем разбить его на Y и a – Y, и тогда нам потребуется решить уравнение

Y (a – Y) = X³ – X.

Диофант исследовал случай, когда a = 6. Подходящая замена переменных (вычесть 9, заменить Y на y + 3, а X на – x) превращает это уравнение в

y² = x³ – x + 9.

Отсюда он вывел решение X = 17/9, Y = 26/27.

Чтобы «сложить» две точки P и Q на эллиптической кривой, соедините их прямой, которая пересечет кривую в третьей точке P*Q. Затем постройте точку, симметричную данной относительно оси x, это и будет P + Q