Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни

Шумейк утверждал, что кватернионы обеспечивают хотя и менее непосредственный, но куда более удобный для аниматоров способ определения вращений, особенно когда дело касается заполнения промежутков. Кватернион a + bi + cj + dk расщепляется на скалярную часть a и векторную часть v = bi + cj + dk. Чтобы повернуть вектор v на кватернион q, нужно умножить v на q^-1 слева и на q справа, чтобы получить q^-1vq. Каким бы ни был q, результатом будет вновь вектор с нулевой скалярной частью. Правила перемножения кватернионов Гамильтона показывают, что любое вращение соответствует единственному кватерниону. Скалярная часть равна косинусу половины угла поворота; векторная часть направлена вдоль оси вращения и имеет длину, равную синусу половины этого угла. Так что кватернион очень аккуратно кодирует всю геометрию вращения, и единственное небольшое неудобство состоит в том, что естественные формулы работают с половиной угла, а не непосредственно с самим углом{55}.

Кватернионы позволяют уйти от искажений, которые могут накопиться, если объект проворачивается многократно, как часто и требуется. Компьютеры способны проводить точные расчеты с целыми числами, но действительные числа не могут быть представлены с абсолютной точностью, так что в результат вкрадываются крохотные ошибки. При обычных методах представления трансформаций объект, которым манипулируют, слегка меняет форму, а глаз хорошо замечает подобные вещи. Если же взять кватернион и слегка изменить в нем числа, результат по-прежнему будет кватернионом и по-прежнему будет представлять вращение, поскольку каждый кватернион представляет определенное вращение. Просто это будет чуть иное вращение, не точно совпадающее с первоначальным. К подобным ошибкам глаз значительно менее чувствителен, кроме того, если они становятся слишком большими, их несложно скомпенсировать.

* * *

Кватернионы – один из способов создания реалистичного движения в трех измерениях, но все, что я описывал до сих пор, относится исключительно к цельным, жестким объектам. К звездолетам, возможно, но к драконам нет. Драконы изгибаются. Как же получить средствами компьютерной графики реалистично движущегося дракона? Общий метод, который я буду описывать, применим не только к драконам, но почти ко всему, и мы возьмем для примера динозавра, потому что у меня есть подходящие картинки[7]. Такой подход сводит движение гибкого объекта к движению множества связанных между собой жестких объектов. Вы используете для этих жестких объектов любой метод, какой вам нравится, с дополнительными поправками, позволяющими корректно связать их воедино. В частности, если для вращения и параллельного переноса жестких объектов используются кватернионы, то эти же методы можно приспособить для работы с гибким динозавром.

Слева: грубая полигональная сетка для Tyrannosaurus rex.

Справа: сетка, прикрепленная к рудиментарному скелету

На первом этапе создается трехмерная цифровая модель динозавра, поверхность которого представляет собой сложную сетку из плоских многоугольников – треугольников, прямоугольников, менее правильных четырехугольников. Программа, используемая для этой цели, показывает форму геометрически, и вы можете двигать объект, вращать его, приближать и т. д. Каждое движение при этом отображается на компьютерном экране. Однако непосредственно программа работает не с геометрией как таковой, а со списком координат точек, где стыкуются многоугольники. Мало того, математика, которую при этом использует программа, помогая рисовать динозавра, примерно та же, что задействуется для анимации результата. Основное различие состоит в том, что на этом этапе динозавр как бы закреплен, а вращается и переносится точка наблюдения. При анимации закрепленной может быть точка наблюдения, а динозавр движется, или, как с летящим драконом, точка наблюдения может двигаться тоже.

Так что теперь у нас имеется грубый и жесткий динозавр. Как заставить его двигаться? Чего мы точно не делаем, так это того, что приходилось делать художникам во времена Микки-Мауса: мы не перерисовываем изображение с динозавром в чуть разном положении сотни раз. Мы хотим, чтобы компьютер делал за нас всю рутинную работу. Поэтому мы сводим нашего динозавра к рудиментарному скелету – небольшому числу жестких стержней («костей»), концы которых соединены. Мы пропускаем эти стержни через туловище, конечности, хвост и голову динозавра. Это не анатомически корректный скелет, а просто рамка, которая позволяет изгибать основные части животного. Скелет также представлен в виде списка координат для двух концов каждой кости.