Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни

Без объяснения эта надпись безнадежно туманна. Даже с объяснением она может показаться нелепой и бессмысленной, но так часто случается с великими математическими открытиями. На их осмысление требуется время. Если бы открытием были комплексные числа, Гамильтон нацарапал бы простое правило: i² = –1. В этом уравнении – ключ ко всей системе комплексных чисел, все остальное вытекает из него, если поставить условие, что обычные правила арифметики должны соблюдаться и здесь. Добавьте к i еще j и k, и окажется, что формула Гамильтона определяет более широкую систему чисел, или, если вам так больше нравится, числоподобных объектов. Автор назвал эти объекты кватернионами, поскольку в них четыре компонента, в роли каждого из которых выступает традиционное действительное число. Вот эти компоненты: обычное действительное число; действительное число, умноженное на число i, которое ведет себя как обычное мнимое число, обозначаемое этим символом; два новых компонента – действительное число, умноженное на число j, и действительное число, умноженное на число k. Таким образом, типичный кватернион представляет собой комбинацию вида a + bi + cj + dk, где a, b, c, d – четыре обычных действительных числа. Или, если мы хотим избавиться от мистики и загадочности, это четверка (a, b, c, d) действительных чисел, подчиняющаяся короткому списку арифметических правил.

На следующий день после своего поступка, отдающего мелким хулиганством, Гамильтон написал своему другу математику Джону Грейвзу: «Меня вдруг осенило, что мы должны признать в каком-то смысле четвертое измерение пространства, чтобы проводить расчеты с тройками». В письме к отцу он отметил: «Такое впечатление, что замкнулся электрический контур и проскочила искра». В его словах было больше правды, чем ему могло показаться, потому что сегодня это открытие играет принципиально важную роль в миллиардах электрических схем, в которых задействованы квадриллионы крохотных искр. Они известны под такими названиями, как Playstation 4, Nintendo Switch и Xbox, а используются для воспроизведения таких видеоигр, как Minecraft, Grand Theft Auto и Call of Duty.

Сегодня мы понимаем, почему Гамильтону никак не удавалось перемножить триплеты. Эта операция невозможна. Он ведь считал, что обычные законы алгебры при этом должны по-прежнему действовать, в частности, что можно делить на любое ненулевое число. Однако, какую бы формулу он ни пробовал, всем необходимым правилам она подчиняться не желала. Позже алгебраисты доказали, что такие требования логически противоречивы. Если вы хотите, чтобы все законы продолжали действовать, то не можете пойти дальше комплексных чисел. Вы заперты в двух измерениях. Если поиграть с формулами Гамильтона, считая при этом, что сочетательный закон действует, можно без труда убедиться, что один из законов уже отброшен, а именно перестановочный закон умножения. Например, из его формул следует, что ij = k, тогда как ji = –k.

Гамильтону хватило воображения, чтобы отказаться от данного закона, несмотря на все затруднения, и это еще мягко сказано. Но мы сегодня знаем, что даже в этом случае невозможно построить замкнутую числовую систему троек. Красивая теорема Адольфа Гурвица, опубликованная после смерти автора в 1923 году, гласит, что действительные числа, комплексные числа и кватернионы представляют собой единственно возможные «алгебры действительного деления». То есть этот фокус можно проделывать с одним, двумя или четырьмя действительными компонентами, но не с тремя. Из перечисленных только действительные и комплексные числа подчиняются перестановочному закону. Ослабив еще и сочетательный закон, можно получить также систему с восемью компонентами, известную как октонионы, или числа Кэли. Следующим естественным числом компонентов было бы 16, но в этом случае откажет даже ослабленный вариант сочетательного закона. Вот и все. Ничего больше по указанному принципу построить нельзя. Это одна из тех странных диковинок, которые иногда выдает математика: в данном контексте следующий член в последовательности 1, 2, 4, 8, … не существует.

Так что несчастный сэр Уильям провел несколько лет в бесплодных усилиях, пытаясь достичь невозможного. Совершенный им в конечном итоге прорыв опирался на отказ от двух ключевых принципов: что умножение должно подчиняться перестановочному закону и что «правильная» числовая система для трехмерной физики должна иметь три компонента. Он заслуживает огромного уважения за то, что сумел понять: чтобы сделать шаг вперед, необходимо отказаться от обоих принципов.

* * *