Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни

Теория форм – это способ обойти проблему неопределенности. Форма – это кривая, которая рассматривается как объект, не зависящий от конкретной параметрической формулы. Так что две параметрические кривые определяют одну и ту же форму, если можно изменением параметра превратить одну формулу в другую, как при замене t на t³. За последнее столетие математики придумали общепринятый способ делать подобные вещи. Никто другой, скорее всего, об этом не подумал бы, потому что для этой идеи требуется абстрактное мышление.

Первый шаг заключается в том, чтобы рассматривать не просто одну параметрическую кривую, а «пространство» всех возможных параметрических кривых. Тогда мы говорим, что две «точки» в этом пространстве (то есть две параметрические кривые) эквивалентны, если можно перейти от одной из них к другой посредством изменения параметра. Тогда «форма» определяется как целый класс эквивалентности кривых – множество всех кривых, эквивалентных данной.

Это более обобщенный вариант приема, используемого в модулярной арифметике. Для целых чисел по модулю 5, например, «пространство» – это все целые числа, а два целых числа эквивалентны, если их разность кратна пяти. Существует пять классов эквивалентности:

Все числа, кратные 5;
Все числа, кратные 5, плюс 1;
Все числа, кратные 5, плюс 2;
Все числа, кратные 5, плюс 3;
Все числа, кратные 5, плюс 4.

Почему здесь следует остановиться? Потому что число, кратное 5, при добавлении 5 становится всего лишь следующим кратным 5.

В данном случае множество классов эквивалентности, обозначаемое Z₅, обладает весьма полезной структурой. И правда, глава 5 показала, что значительная часть фундаментальной теории чисел опирается именно на эту структуру. Мы говорим, что Z₅ – это «фактор-пространство» целых чисел по модулю 5. Именно его вы получите, если сделаете вид, что числа, различающиеся на 5, идентичны.

Нечто аналогичное приводит нас к созданию пространства форм. Здесь вместо целых чисел мы имеем пространство всех параметрических кривых. Вместо того чтобы менять числа на кратное 5, мы меняем формулу параметра. Так что в конечном итоге мы получаем «фактор-пространство», то есть пространство всех параметрических кривых по модулю изменений параметра. Звучит, возможно, бессмысленно, но это давно уже ставший стандартным прием, ценность которого подтверждена временем. Одна из причин его ценности в том, что фактор-пространство – это естественное описание интересующих нас объектов. Другая – в том, что обычно фактор-пространство наследует от исходного пространства его интересную структуру.

Для пространства форм основной интересной особенностью структуры является мера расстояния между двумя формами. Если взять окружность и слегка ее деформировать, мы получим замкнутую кривую, близкую к окружности, но не совпадающую с ней. Если деформировать окружность сильно, получим замкнутую кривую, которая, на интуитивном уровне, отличается от окружности сильнее: она «дальше» от окружности. Это интуитивное представление можно сделать более точным и доказать, что в пространстве форм есть разумная и естественная концепция расстояния: метрика.

Если пространство обладает метрикой, в нем можно делать множество разных полезных вещей. Можно, в частности, отличать непрерывные изменения от тех, которые непрерывными не являются, а можно пойти дальше: отличать плавные изменения от неплавных. Здесь, наконец, мы возвращаемся к проблеме сшивания анимационных последовательностей. Метрика пространства форм позволяет как минимум находить разрывы непрерывности или недостаток плавности на компьютере, посредством вычислений, а не на глаз. Но это еще не все.

В математике много методов сглаживания, способных превратить функцию с разрывами в непрерывную функцию, а негладкую функцию – в гладкую. Как выяснилось, эти методы можно применять и к пространству форм. Так что сшитую последовательность с внезапным разрывом непрерывности можно автоматически – посредством надлежащих компьютерных расчетов – модифицировать и, таким образом, избавиться от разрыва. Это непросто, но возможно. Даже в простом расчете расстояния между двумя кривыми используются методы оптимизации, немного похожие на те, что мы встречали в рассказе о задаче коммивояжера. Для сглаживания последовательности необходимо решить дифференциальное уравнение, напоминающее уравнение Фурье для теплопередачи, которое мы встретим в главах 9 и 10. Теперь вся анимированная последовательность кривых «перетекает» в другую анимированную последовательность, сглаживая при этом все нарушения непрерывности и плавности – и это опять же похоже на то, как тепловой поток сглаживает прямоугольный импульс{56}.