Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни

Математика в основном имеет дело с точными расчетами. Некое число равно (или не равно) двум. Это число принадлежит (или не принадлежит) множеству простых чисел. Однако реальный мир зачастую не столь однозначен. Результат измерения может быть близок к 2, но не равен двум в точности; более того, если измерить ту же величину снова, результат может слегка отличаться от первого. Хотя число не может быть «почти простым», оно определенно может быть «почти целым». Такое описание вполне разумно для таких чисел, как, скажем, 0,99 или 2,01. В 1965 году Лотфи Заде и Дитер Клауа независимо друг от друга сформулировали точное математическое описание такого рода размытости, получившее название теории нечетких множеств, наряду с родственной концепцией нечеткой логики.

В традиционной теории множеств объект (такой как число) либо принадлежит конкретному множеству, либо не принадлежит. В теории нечетких множеств существует точная численная мера степени его принадлежности множеству. Так что число 2 может, в принципе, принадлежать множеству наполовину или, скажем, на треть. Если такая мера равна 1, число определенно принадлежит множеству, а если она равна 0 – определенно не принадлежит. Если оставить только значения 0 и 1, получится традиционная теория множеств. Если разрешить этой мере принимать любые значения между 0 и 1, степень нечеткой принадлежности захватит серую зону между двумя этими крайними значениями.

Некоторые видные математики сразу отбросили эту идею под тем предлогом, что теория нечетких множеств – это просто замаскированная теория вероятностей или что логика большинства людей и без того нечеткая, а потому ни к чему делать такой и математику. Вопрос о том, что заставляет некоторых ученых поспешно отбрасывать новые идеи, всегда ставит меня в тупик, особенно в ситуации, когда их возражения лишены смысла. Никто не предлагал заменять стандартную логику на нечеткую. Нечеткая логика предлагалась всего лишь как дополнительный инструмент в математическом арсенале. Хотя на первый взгляд нечеткие множества действительно напоминают вероятности, подчиняются они иным правилам, и интерпретация там тоже иная. Если число принадлежит множеству с вероятностью 1/2 и вам нравится частотный подход к вероятностям, то вы говорите, что при многократном повторении эксперимента число будет принадлежать этому множеству примерно в половине случаев. Если вы сторонник байесовского подхода, то будете считать, что число принадлежит множеству на 50 %. Но в теории нечетких множеств элемент случайности отсутствует. Число определенно принадлежит множеству, но степень его принадлежности не равна 1. Она в точности равна 1/2. Что касается презрительного замечания о плохой логике, то заметим: в нечеткой логике есть точные правила, и любые рассуждения, в которых она используется, либо верны, либо нет – в зависимости от того, выполняются ли в них эти правила. Мне кажется, слово «нечеткая» внушает некоторым мысль о том, что сами правила там легко поддаются воздействию и плохо определены. Это не так.

Другой вопрос, способный еще больше замутить воду, состоит в том, добавляют ли нечеткие множества и нечеткая логика что-нибудь ценное в математику. Ведь совсем несложно придумывать обширные формальные системы, которые оказываются немногим лучше нагромождения бессмысленных формул, то есть «абстрактной чепухи». Подозреваю, что искушение увидеть в детище Заде нечто подобное было довольно сильным, особенно поскольку основы теории едва ли можно назвать глубокими или сложными. В то же время если доказательством пудинга может быть только его употребление, то ценность математики можно установить разными способами, лишь в одном из которых фигурирует ее интеллектуальная глубина. Другим, довольно показательным в свете этой книги фактором является полезность. И надо сказать, что многие почти тривиальные математические идеи оказались в конечном итоге чрезвычайно полезными. Десятичная запись чисел, например. Она блестяще, новаторски, умно меняет правила игры, но никакой особой глубины в ней нет. Даже ребенок способен это понять.

Нечеткая логика и теория нечетких множеств, пожалуй, тоже не удовлетворяют критерию глубины, по крайней мере в сравнении с гипотезой Римана или Великой теоремой Ферма. Но они оказались очень, очень полезными. Они выходят на первый план всякий раз, когда мы не до конца уверены в точности информации, которую получаем из наблюдений. Сегодня нечеткая математика широко применяется в таких областях, как лингвистика, принятие решений, анализ данных и биоинформатика. Она используется, когда способна сделать дело лучше любого альтернативного метода, в остальных же случаях ее можно спокойно игнорировать.